Exercício 3. Integrar
sobre:
(b) o domínio
.
(b) o domínio
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla de
sobre o domínio
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A região é formada pelos pontos cujo quadrado da distância à origem satisfaz
. - Há as restrições
e (primeiro quadrante). - A função a integrar é
.
O que é pedido: calcular
Passo 2
Escolhendo a forma de resolver (razão): a região é descrita por
entre duas constantes e por condições angulares (
,
); isso sugere usar coordenadas polares, porque nelas círculos centrados na origem ficam com limites simples em
e a condição de primeiro quadrante fica simples em
. Vou então trocar para coordenadas polares para simplificar a integral.
Passo 3
Relembrando e explicando coordenadas polares (passo-a-passo):
- As coordenadas polares
são relacionadas a por
onde
é a distância ao origem e
é o ângulo medido desde o eixo
positivo.
- O elemento de área na mudança de variável é dado por
Isto aparece porque a transformação
tem jacobiano com módulo
. Vou mostrar a conta do jacobiano no próximo passo.
Passo 4
Cálculo do jacobiano (mostrando as derivadas):
A matriz jacobiana é
A matriz jacobiana é
O determinante é
Portanto
.]
Passo 5
Determinar os limites em coordenadas polares:
- A condição
vira , ou seja
- As condições
e significam que estamos no primeiro quadrante, portanto
Logo os limites são
e
.
Passo 6
Converter a integranda para polares e montar a integral:
- Substituindo
e , obtemos
- Multiplicando por
temos o integrando
Portanto a integral sobre
fica
Passo 7
Calcular a integral em
(integrando primeiro em
):
A parte que depende de é
. Então
A parte que depende de
Como
não depende de
, posso fatorá-la fora da integral em
. Assim a integral completa vira
Passo 8
Calcular a integral em
:
Avaliar nos extremos:
A diferença é
. Logo
Passo 9
Multiplicar os resultados para obter o valor final: