Exercício 3. Integrar f(x, y)=x+y sobre:
(b) o domínio D=\left\{(x, y) \mid 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4, x \geq 0, y \geq 0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de f(x,y)=x+y sobre o domínio
D=\{(x,y)\mid 1 \leq x^{2}+y^{2}\leq 4,\\ x\ge 0,\\ y\ge 0\}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A região é formada pelos pontos cujo quadrado da distância à origem satisfaz 1\le x^{2}+y^{2}\le 4.
  • Há as restrições x\ge 0 e y\ge 0 (primeiro quadrante).
  • A função a integrar é f(x,y)=x+y.
    O que é pedido: calcular
\iint_{D} (x+y)\,dA.

Passo 2

Escolhendo a forma de resolver (razão): a região é descrita por x^{2}+y^{2} entre duas constantes e por condições angulares ( x\ge0, y\ge0); isso sugere usar coordenadas polares, porque nelas círculos centrados na origem ficam com limites simples em r e a condição de primeiro quadrante fica simples em \theta. Vou então trocar para coordenadas polares para simplificar a integral.

Passo 3

Relembrando e explicando coordenadas polares (passo-a-passo):
  • As coordenadas polares (r,\theta) são relacionadas a (x,y) por
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido desde o eixo x positivo.
  • O elemento de área na mudança de variável é dado por
dA = dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Isto aparece porque a transformação (r,\theta)\mapsto(x,y) tem jacobiano com módulo r. Vou mostrar a conta do jacobiano no próximo passo.

Passo 4

Cálculo do jacobiano (mostrando as derivadas):
A matriz jacobiana é
J=\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta}\\[4pt] \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta\\[4pt] \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix}.
O determinante é
\det J = (\cos\theta)(r\cos\theta)-(-r\sin\theta)(\sin\theta)=r(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)=r.
Portanto dA = |\det J|\,dr\,d\theta = r\,dr\,d\theta.]

Passo 5

Determinar os limites em coordenadas polares:
  • A condição 1\le x^{2}+y^{2}\le 4 vira 1\le r^{2}\le 4, ou seja
1\le r^{2}\le 4 \quad\Longrightarrow\quad 1\le r\le 2.
  • As condições x\ge 0 e y\ge 0 significam que estamos no primeiro quadrante, portanto
0\le \theta\le \frac{\pi}{2}.
Logo os limites são r\in[1,2] e \theta\in[0,\pi/2].

Passo 6

Converter a integranda para polares e montar a integral:
  • Substituindo x=r\cos\theta e y=r\sin\theta, obtemos
x+y = r\cos\theta + r\sin\theta = r(\cos\theta+\sin\theta).
  • Multiplicando por dA=r\,dr\,d\theta temos o integrando
(x+y)\,dA = r(\cos\theta+\sin\theta)\cdot r\,dr\,d\theta = r^{2}(\cos\theta+\sin\theta)\,dr\,d\theta.
Portanto a integral sobre D fica
\iint_{D}(x+y)\,dA = \int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=1}^{2} r^{2}(\cos\theta+\sin\theta)\,dr\,d\theta.

Passo 7

Calcular a integral em r (integrando primeiro em r):
A parte que depende de r é r^{2}. Então
\int_{r=1}^{2} r^{2}\,dr = \left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{1}^{2} = \frac{2^{3}}{3}-\frac{1^{3}}{3} = \frac{8-1}{3} = \frac{7}{3}.
Como \cos\theta+\sin\theta não depende de r, posso fatorá-la fora da integral em r. Assim a integral completa vira
\iint_{D}(x+y)\,dA = \left(\frac{7}{3}\right)\int_{0}^{\pi/2}(\cos\theta+\sin\theta)\,d\theta.

Passo 8

Calcular a integral em \theta:
\int_{0}^{\pi/2}(\cos\theta+\sin\theta)\,d\theta = \left[\sin\theta - \cos\theta\right]_{0}^{\pi/2}.
Avaliar nos extremos:
\text{em }\theta=\frac{\pi}{2}:\\ \sin\frac{\pi}{2}-\cos\frac{\pi}{2}=1-0=1,
\text{em }\theta=0:\\ \sin 0-\cos 0 = 0-1=-1.
A diferença é 1-(-1)=2. Logo
\int_{0}^{\pi/2}(\cos\theta+\sin\theta)\,d\theta = 2.

Passo 9

Multiplicar os resultados para obter o valor final:
\iint_{D}(x+y)\,dA = \frac{7}{3}\cdot 2 = \frac{14}{3}.

Resposta

\dfrac{14}{3}

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