Exercício 5. Calcular \iint_{D}(x+y)^{2} d A, onde D é o paralelogramo limitado pelas linhas retas
x+y=0, x+y=1,2 x-y=0, e 2 x-y=3 .
[Dica: Usar a transformação u=x+y, v=2 x-y ]

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{D} (x+y)^{2}\,dA,
onde D é o paralelogramo limitado pelas retas
x+y=0,\quad x+y=1,\quad 2x-y=0,\quad 2x-y=3.
A dica fornecida é usar a transformação
u=x+y,\qquad v=2x-y.
Resumo do que temos e do que se pede:
  • Integrando: (x+y)^{2}.
  • Região D descrita pelas quatro retas acima.
  • Transformação sugerida: (x,y)\mapsto(u,v) com u=x+y e v=2x-y.
    O objetivo final é avaliar a integral sobre D usando essa transformação.

Passo 2

Primeiro vamos expressar (x,y)\) em função de \((u,v)\). Temos o sistema linear \[\begin{cases} u = x+y,\\[4pt] v = 2x - y. \end{cases}
Somando as duas equações obtemos
u+v = (x+y)+(2x-y) = 3x \quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{u+v}{3}.
Substituindo em (u=x+y] dá
y = u - x = u - \dfrac{u+v}{3} = \dfrac{3u-(u+v)}{3} = \dfrac{2u-v}{3}.
Portanto a inversa da transformação é
x=\dfrac{u+v}{3},\qquad y=\dfrac{2u-v}{3}.]

Passo 3

Vamos determinar a região R em termos de (u,v). As retas que limitam D são exatamente as equações dadas em u e v:
  • as duas retas x+y=0 e x+y=1 correspondem a u=0 e u=1;
  • as duas retas 2x-y=0 e 2x-y=3 correspondem a v=0 e v=3.
Portanto, no plano (u,v) a região R é o retângulo
0\le u\le 1,\qquad 0\le v\le 3.

Passo 4

Agora explico a fórmula de mudança de variáveis: se (x,y)=(x(u,v),y(u,v)) é uma transformação com derivadas contínuas e inversível, então
\iint_{D} f(x,y)\,dA = \iint_{R} f(x(u,v),y(u,v)) \left|\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|\,du\,dv.
Aqui \det\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} é o Jacobiano da transformação, ou seja o determinante da matriz das derivadas parciais.
Calculemos o Jacobiano. A matriz das derivadas parciais é
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{pmatrix} \displaystyle\frac{\partial x}{\partial u} & \displaystyle\frac{\partial x}{\partial v}\\[8pt] \displaystyle\frac{\partial y}{\partial u} & \displaystyle\frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3}\\[6pt] \dfrac{2}{3} & -\dfrac{1}{3} \end{pmatrix}.
O determinante é
\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \left(\dfrac{1}{3}\right)\left(-\dfrac{1}{3}\right) - \left(\dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{2}{3}\right) = -\dfrac{1}{9} - \dfrac{2}{9} = -\dfrac{3}{9} = -\dfrac{1}{3}.
Tomamos o valor absoluto para a fórmula da mudança de variável:
\left|\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right| = \dfrac{1}{3}.]

Passo 5

Transformamos o integrando: como u=x+y, temos (x+y)^{2}=u^{2}. Usando a fórmula de mudança de variáveis, a integral fica
\iint_{D} (x+y)^{2}\,dA = \iint_{R} u^{2}\cdot \dfrac{1}{3}\,du\,dv = \int_{v=0}^{3}\int_{u=0}^{1} \dfrac{1}{3}\,u^{2}\,du\,dv.

Passo 6

Calculemos a integral em u primeiro. Temos
\int_{u=0}^{1} u^{2}\,du = \left[\dfrac{u^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \dfrac{1}{3}.
Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{3} do Jacobiano obtemos a integranda em v:
\int_{u=0}^{1} \dfrac{1}{3}\,u^{2}\,du = \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{9}.
Agora integramos em v de 0 a 3:
\int_{v=0}^{3} \dfrac{1}{9}\,dv = \dfrac{1}{9}\cdot\left[ v \right]_{0}^{3} = \dfrac{1}{9}\cdot 3 = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}.

Passo 7

Interpretação rápida e ânimo: a transformação linear simplificou a região D para um retângulo em (u,v) e o integrando ficou só em u, o que torna a conta direta. Mandou bem procurando a dica!

Resposta

\dfrac{1}{3}

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