Exercício 3. Integrar f(x, y)=x+y sobre:
(a) o domínio D=\left\{(x, y) \mid 0 \leq x^{2}+y^{2} \leq 1, x \geq 0, y \geq 0\right\};

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de f(x,y)=x+y sobre o domínio
D=\{(x,y)\mid 0\le x^{2}+y^{2}\le 1,\; x\ge 0,\; y\ge 0\}.
Informações dadas:
  • A função a integrar é f(x,y)=x+y.
  • O domínio D é o conjunto de pontos dentro do disco de raio 1 centrado na origem, restrito ao primeiro quadrante (ou seja, x\ge0 e y\ge0).
  • A tarefa é calcular
\iint_{D} (x+y)\,dA.

Passo 2

Qual método usar? Aqui a região é uma parte de disco (limite radial x^{2}+y^{2}=1), então é muito conveniente usar coordenadas polares. Explicando devagar:
  • Coordenadas cartesianas (x,y) ficam pesadas quando o contorno é circular.
  • Em coordenadas polares usamos variáveis (r,\theta) com
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
Essas variáveis descrevem pontos por distância r ao origem e ângulo \theta a partir do eixo x. Vou mudar a integral para polares porque o domínio e as integrações ficam simples.

Passo 3

Jacobiano e limites em polares. Ao trocar para polares, o elemento de área dA transforma-se em r\,dr\,d\theta. Aqui está o porquê de forma simples:
  • Um pequeno retângulo em (r,\theta) tem lados aproximadamente dr e r\,d\theta, então a área é dr\cdot(r\,d\theta)=r\,dr\,d\theta.
    Agora os limites para D:
  • Como x^{2}+y^{2}\le 1 temos 0\le r\le 1.
  • Como x\ge 0 e y\ge 0, o ângulo \theta fica entre 0 e \tfrac{\pi}{2}.
    Portanto os limites são 0\le r\le 1 e 0\le \theta\le \tfrac{\pi}{2}.

Passo 4

Substituir a função e montar a integral em polares. Primeiro escrevemos x+y em polares:
x+y = r\cos\theta + r\sin\theta = r(\cos\theta+\sin\theta).
O integrando com o Jacobiano fica
(x+y)\,dA = r(\cos\theta+\sin\theta)\cdot r\,dr\,d\theta = r^{2}(\cos\theta+\sin\theta)\,dr\,d\theta.
Logo a integral pedida é
\iint_{D} (x+y)\,dA = \int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{1} r^{2}(\cos\theta+\sin\theta)\,dr\,d\theta.

Passo 5

Integrar em r primeiro. A parte que depende de r é r^{2}; como \cos\theta+\sin\theta é constante em relação a r, temos
\int_{r=0}^{1} r^{2}(\cos\theta+\sin\theta)\,dr = (\cos\theta+\sin\theta)\int_{0}^{1} r^{2}\,dr.
Calcule a integral de r^{2}:
\int_{0}^{1} r^{2}\,dr = \left.\frac{r^{3}}{3}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{3}.
Portanto a integral reduz-se a
\iint_{D} (x+y)\,dA = \frac{1}{3}\int_{0}^{\pi/2} (\cos\theta+\sin\theta)\,d\theta.

Passo 6

Integrar em \theta. Calcule as duas integrais separadas:
\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta = \left.\sin\theta\right|_{0}^{\pi/2} = 1-0 = 1,
\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta = \left.-\cos\theta\right|_{0}^{\pi/2} = -(0)+1 = 1.
Somando,
\int_{0}^{\pi/2}(\cos\theta+\sin\theta)\,d\theta = 1+1 = 2.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{3} obtido antes:
\iint_{D} (x+y)\,dA = \frac{1}{3}\cdot 2 = \frac{2}{3}.

Resposta

\dfrac{2}{3}

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