O domínio D é o conjunto de pontos dentro do disco de raio 1 centrado na origem, restrito ao primeiro quadrante (ou seja, x\ge0 e y\ge0).
A tarefa é calcular
\iint_{D} (x+y)\,dA.
Passo 2
Qual método usar? Aqui a região é uma parte de disco (limite radial x^{2}+y^{2}=1), então é muito conveniente usar coordenadas polares. Explicando devagar:
Coordenadas cartesianas (x,y) ficam pesadas quando o contorno é circular.
Em coordenadas polares usamos variáveis (r,\theta) com
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
Essas variáveis descrevem pontos por distância r ao origem e ângulo \theta a partir do eixo x. Vou mudar a integral para polares porque o domínio e as integrações ficam simples.
Passo 3
Jacobiano e limites em polares. Ao trocar para polares, o elemento de área dA transforma-se em r\,dr\,d\theta. Aqui está o porquê de forma simples:
Um pequeno retângulo em (r,\theta) tem lados aproximadamente dr e r\,d\theta, então a área é dr\cdot(r\,d\theta)=r\,dr\,d\theta.
Agora os limites para D:
Como x^{2}+y^{2}\le 1 temos 0\le r\le 1.
Como x\ge 0 e y\ge 0, o ângulo \theta fica entre 0 e \tfrac{\pi}{2}.
Portanto os limites são 0\le r\le 1 e 0\le \theta\le \tfrac{\pi}{2}.
Passo 4
Substituir a função e montar a integral em polares. Primeiro escrevemos x+y em polares: