Exercício 8.1.2. Inverta a ordem de integração:
\int_{-1}^{2}\left[\int_{\sqrt{\frac{7+5 y^{2}}{3}}}^{\frac{y+7}{3}} f(x, y) d x\right] d y.

Passo 1

O enunciado dá a integral iterada
\int_{y=-1}^{2}\biggl[\int_{x=\sqrt{\frac{7+5y^{2}}{3}}}^{\,\frac{y+7}{3}}f(x,y)\,dx\biggr]dy
e pede para inverter a ordem de integração.
O conteúdo é reconhecer o domínio D no plano xy, escrever suas descrições em duas ordens e, então, trocar dx\,dy por dy\,dx.

Passo 2

Descriminamos D pelas desigualdades internas:
-1\le y\le2,
\sqrt{\frac{7+5y^{2}}{3}}\;\le\;x\;\le\;\frac{y+7}{3}.
Isso significa que D=\{(x,y)\mid -1\le y\le2,\;\sqrt{(7+5y^2)/3}\le x\le (y+7)/3\}.

Passo 3

Para inverter, expressamos as mesmas condições em função de x primeiro. De
x\ge\sqrt{\frac{7+5y^{2}}{3}}
temos ao quadrado
x^2\ge\frac{7+5y^2}{3} \quad\Longrightarrow\quad 5y^2\le3x^2-7 \quad\Longrightarrow\quad -\sqrt{\frac{3x^2-7}{5}}\;\le\;y\;\le\;\sqrt{\frac{3x^2-7}{5}}.
De
x\le\frac{y+7}{3}
segue
y\ge3x-7.
Mantemos também -1\le y\le2.

Passo 4

A região existe só quando 3x^2-7\ge0, ou seja
x^2\ge\frac{7}{3} \quad\Longrightarrow\quad x\ge\sqrt{\frac{7}{3}}.
Além disso, de x\le(y+7)/3 com y\le2 vem x\le3. Portanto
\sqrt{\frac{7}{3}}\;\le\;x\;\le\;3.

Passo 5

Para cada x nesse intervalo, y deve satisfazer simultaneamente
-\sqrt{\frac{3x^2-7}{5}}\;\le\;y\;\le\;\sqrt{\frac{3x^2-7}{5}}, \quad y\ge3x-7, \quad -1\le y\le2.
Comparemos as fronteiras em y para achar o menor e o maior valor de y em função de x.

Passo 6

Observa-se que em x=2 vale 3x-7=-1 e \sqrt{(3x^2-7)/5}=1.
  • Para \sqrt{7/3}\le x\le2, tem-se 3x-7\le-1 e -\sqrt{(3x^2-7)/5}\ge-1, logo o menor y é -\sqrt{(3x^2-7)/5} e o maior é \sqrt{(3x^2-7)/5}.
  • Para 2\le x\le3, tem-se 3x-7\ge-1 e \sqrt{(3x^2-7)/5}\le2, logo o menor y é 3x-7 e o maior continua \sqrt{(3x^2-7)/5}.

Passo 7

Reescrevemos a integral trocando a ordem, dividindo em dois subintervalos de x:
\int_{x=\sqrt{\frac{7}{3}}}^{2} \Biggl[\int_{y=-\sqrt{\frac{3x^2-7}{5}}}^{\sqrt{\frac{3x^2-7}{5}}}f(x,y)\,dy\Biggr]dx \;+\; \int_{x=2}^{3} \Biggl[\int_{y=3x-7}^{\sqrt{\frac{3x^2-7}{5}}}f(x,y)\,dy\Biggr]dx.

Resposta

\int_{x=\sqrt{\frac{7}{3}}}^{2} \Biggl[\int_{y=-\sqrt{\frac{3x^2-7}{5}}}^{\sqrt{\frac{3x^2-7}{5}}}f(x,y)\,dy\Biggr]dx \;+\; \int_{x=2}^{3} \Biggl[\int_{y=3x-7}^{\sqrt{\frac{3x^2-7}{5}}}f(x,y)\,dy\Biggr]dx.

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