Exercício 8.1.2. Inverta a ordem de integração:
.
Passo 1
O enunciado dá a integral iterada
e pede para inverter a ordem de integração.
O conteúdo é reconhecer o domínio no plano
, escrever suas descrições em duas ordens e, então, trocar
por
.
O conteúdo é reconhecer o domínio
Passo 2
Descriminamos
pelas desigualdades internas:
Isso significa que
.
Passo 3
Para inverter, expressamos as mesmas condições em função de
primeiro. De
temos ao quadrado
De
segue
Mantemos também
.
Passo 4
A região existe só quando
, ou seja
Além disso, de
com
vem
. Portanto
Passo 5
Para cada
nesse intervalo,
deve satisfazer simultaneamente
Comparemos as fronteiras em
para achar o menor e o maior valor de
em função de
.
Passo 6
Observa-se que em
vale
e
.
- Para
, tem-se e , logo o menor é e o maior é . - Para
, tem-se e , logo o menor é e o maior continua .
Passo 7
Reescrevemos a integral trocando a ordem, dividindo em dois subintervalos de
: