Seja f(x, y)=\left\{\begin{array}{lll}\frac{x^{3} y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0), \\\\ 1, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right.. A função f é contínua?

Passo 1

O enunciado define
\displaystyle f(x,y)=\begin{cases}\frac{x^{3}y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt]1&\text{se }(x,y)=(0,0).\end{cases}
e pergunta se f é contínua. O conteúdo aqui é continuidade de função de duas variáveis em um ponto, em particular em (0,0).]

Passo 2

Para qualquer (x,y)\neq(0,0), f é composição de funções polinomiais e da raiz quadrada com denominação não nula, portanto é contínua em todo ponto fora de (0,0).

Passo 3

Vamos calcular
\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y).
Em coordenadas polares x=r\cos\theta, y=r\sin\theta com r>0, temos
\bigl|f(x,y)\bigr| =\frac{|r\cos\theta|^{3}\,|r\sin\theta|^{2}}{r} =r^{4}\bigl|\cos^{3}\theta\,\sin^{2}\theta\bigr| \le r^{4}.
Como r^{4}\to0 quando r\to0, segue que
\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.

Passo 4

Mas f(0,0)=1\neq0. Logo
\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)\neq f(0,0),
isto é, f não é contínua em (0,0). Em todos os outros pontos ela é contínua.

Resposta

A função f não é contínua em (0,0) (embora seja contínua para (x,y)\neq(0,0)).

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