Seja f(x, y)=\left\{\begin{array}{lll}\frac{x^{3} y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0), \\\\ 1, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right.. A função f é contínua?
e pergunta se f é contínua. O conteúdo aqui é continuidade de função de duas variáveis em um ponto, em particular em (0,0).]
Passo 2
Para qualquer (x,y)\neq(0,0), f é composição de funções polinomiais e da raiz quadrada com denominação não nula, portanto é contínua em todo ponto fora de (0,0).
Passo 3
Vamos calcular \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y).
Em coordenadas polares x=r\cos\theta, y=r\sin\theta com r>0, temos
Como r^{4}\to0 quando r\to0, segue que \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.
Passo 4
Mas f(0,0)=1\neq0. Logo \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)\neq f(0,0),
isto é, f não é contínua em (0,0). Em todos os outros pontos ela é contínua.
Resposta
A função f não é contínua em (0,0) (embora seja contínua para (x,y)\neq(0,0)).