Dado \mathrm{x}=\frac{2+\mathrm{i}}{2-\mathrm{i}}-\frac{1-2 \mathrm{i}}{1+2 \mathrm{i}}+\frac{3-\mathrm{i}}{3+\mathrm{i}}-\frac{1+3 \mathrm{i}}{1-3 \mathrm{i}}. Determinar o módulo e o argumento do resultado. R :

Passo 1

O enunciado dá
x = \frac{2 + \mathrm{i}}{2 - \mathrm{i}} - \frac{1 - 2\,\mathrm{i}}{1 + 2\,\mathrm{i}} + \frac{3 - \mathrm{i}}{3 + \mathrm{i}} - \frac{1 + 3\,\mathrm{i}}{1 - 3\,\mathrm{i}}
e pede o módulo e o argumento de x. Vamos usar a racionalização de denominadores para escrever cada fração na forma a+ b\,\mathrm{i}, somá-las e depois passar para a forma polar.

Passo 2

Racionalizamos as duas primeiras frações:
\frac{2 + \mathrm{i}}{2 - \mathrm{i}} = \frac{(2 + \mathrm{i})(2 + \mathrm{i})}{(2 - \mathrm{i})(2 + \mathrm{i})} = \frac{3 + 4\,\mathrm{i}}{5} = \frac{3}{5} + \frac{4}{5}\,\mathrm{i},
\frac{1 - 2\,\mathrm{i}}{1 + 2\,\mathrm{i}} = \frac{(1 - 2\,\mathrm{i})(1 - 2\,\mathrm{i})}{(1 + 2\,\mathrm{i})(1 - 2\,\mathrm{i})} = \frac{-3 - 4\,\mathrm{i}}{5} = -\frac{3}{5} - \frac{4}{5}\,\mathrm{i}.
Como esse segundo termo vem com sinal negativo em x, ele contribui com
- \bigl(-\tfrac{3}{5} - \tfrac{4}{5}\,\mathrm{i}\bigr) = +\frac{3}{5} + \frac{4}{5}\,\mathrm{i}.

Passo 3

Racionalizamos as duas últimas frações:
\frac{3 - \mathrm{i}}{3 + \mathrm{i}} = \frac{(3 - \mathrm{i})(3 - \mathrm{i})}{(3 + \mathrm{i})(3 - \mathrm{i})} = \frac{8 - 6\,\mathrm{i}}{10} = \frac{4}{5} - \frac{3}{5}\,\mathrm{i},
\frac{1 + 3\,\mathrm{i}}{1 - 3\,\mathrm{i}} = \frac{(1 + 3\,\mathrm{i})(1 + 3\,\mathrm{i})}{(1 - 3\,\mathrm{i})(1 + 3\,\mathrm{i})} = \frac{-8 + 6\,\mathrm{i}}{10} = -\frac{4}{5} + \frac{3}{5}\,\mathrm{i}.
Como este quarto termo entra com sinal negativo, ele contribui com
- \bigl(-\tfrac{4}{5} + \tfrac{3}{5}\,\mathrm{i}\bigr) = +\frac{4}{5} - \frac{3}{5}\,\mathrm{i}.

Passo 4

Somando todas as contribuições em forma a+ b\,\mathrm{i}:
x = \Bigl(\tfrac{3}{5}+\tfrac{4}{5}\,\mathrm{i}\Bigr) + \Bigl(\tfrac{3}{5}+\tfrac{4}{5}\,\mathrm{i}\Bigr) + \Bigl(\tfrac{4}{5}-\tfrac{3}{5}\,\mathrm{i}\Bigr) + \Bigl(\tfrac{4}{5}-\tfrac{3}{5}\,\mathrm{i}\Bigr) = \frac{14}{5} + \frac{2}{5}\,\mathrm{i}.

Passo 5

Para passar à forma polar, calculamos o módulo e o argumento de
x = \frac{14}{5} + \frac{2}{5}\,\mathrm{i}.
O módulo é
|x| = \sqrt{\bigl(\tfrac{14}{5}\bigr)^{2} + \bigl(\tfrac{2}{5}\bigr)^{2}} = \frac{1}{5}\sqrt{196 + 4} = \frac{\sqrt{200}}{5} = 2\sqrt{2}.
O argumento \theta satisfaz
\tan(\theta) = \frac{\Im(x)}{\Re(x)} = \frac{\tfrac{2}{5}}{\tfrac{14}{5}} = \frac{1}{7},
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\theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{1}{7}\bigr).

Resposta

|x| = 2\sqrt{2}, \quad \arg(x) = \arctan\!\bigl(\tfrac{1}{7}\bigr).

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