Exercício 9 Uma isometria entre espaços com produto interno
e
é uma transformação linear
que satisfaz
Toda isometria é injetiva.
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
entre espaços com produto interno
e
e afirma que
A pergunta implícita é: mostrar que toda isometria (ou seja, toda transformação linear
que preserva o produto interno conforme acima) é injetiva.
Informações relevantes fornecidas:
-
é linear. -
preserva o produto interno: para todos . - Conhecimentos básicos sobre produto interno (axiomas) podem ser usados.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa ser injetiva e introduzir a noção de núcleo (kernel), porque ela simplifica muito o argumento.
Definição de injetividade:
Uma aplicação linear é injetiva se, sempre que
, então
. Uma forma equivalente e muito útil para aplicações lineares é:
é injetiva se e somente se
, onde
Uma aplicação linear
Explicação rápida dessa equivalência (útil na prova):
Se e
então
, logo
e, como o núcleo contém só o vetor zero,
, ou seja
. Assim núcleo trivial implica injetividade. (O outro sentido é óbvio: se
é injetiva,
implica
, então
.)
Se
Passo 3
Vamos usar uma propriedade fundamental do produto interno que é parte das definições dos espaços com produto interno:
Axioma de positividade do produto interno:
Para todo em um espaço com produto interno,
e
se e somente se
.
Para todo
Isso significa que o único vetor cujo produto interno consigo mesmo é zero é o vetor zero. Essa propriedade será o motor do nosso argumento.
Passo 4
Prova de que
.
Pegue um vetor arbitrário
. Por definição, isso significa
(o vetor zero em
). Agora aplique a igualdade de preservação do produto interno com
. Temos:
Como
, o lado esquerdo é
. Portanto
Pela propriedade de positividade do produto interno (Passo 3), deste fato segue que
. Assim qualquer
é necessariamente o vetor zero, ou seja
Passo 5
Conclusão final: como o núcleo de
é
, pela equivalência entre núcleo trivial e injetividade para transformações lineares (Passo 2), concluímos que
é injetiva.
Se estiver meio tenso com provas desse tipo: a ideia chave é sempre procurar o núcleo e usar que produtos internos só anulam em vetores nulos — aqui a hipótese de isometria liga diretamente
com
, fazendo a prova ficar curta e direta. Você consegue!
Resposta
Sim: toda isometria é injetiva.