Exercício 9 Uma isometria entre espaços com produto interno \left(V,\langle\cdot, \cdot\rangle_{V}\right) e \left(U,\langle\cdot, \cdot\rangle_{U}\right) é uma transformação linear T: U \rightarrow V que satisfaz
\langle T(x), T(y)\rangle_{V}=\langle x, y\rangle_{U}, \quad \forall x, y \in U
Toda isometria é injetiva.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T: U \to V entre espaços com produto interno \left(U,\langle\cdot,\cdot\rangle_{U}\right) e \left(V,\langle\cdot,\cdot\rangle_{V}\right) e afirma que
\langle T(x),T(y)\rangle_{V}=\langle x,y\rangle_{U},\quad \forall x,y\in U.
A pergunta implícita é: mostrar que toda isometria (ou seja, toda transformação linear T que preserva o produto interno conforme acima) é injetiva.
Informações relevantes fornecidas:
  • T é linear.
  • T preserva o produto interno: \langle T(x),T(y)\rangle_{V}=\langle x,y\rangle_{U} para todos x,y\in U.
  • Conhecimentos básicos sobre produto interno (axiomas) podem ser usados.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa ser injetiva e introduzir a noção de núcleo (kernel), porque ela simplifica muito o argumento.
Definição de injetividade:
Uma aplicação linear T é injetiva se, sempre que T(x)=T(y), então x=y. Uma forma equivalente e muito útil para aplicações lineares é: T é injetiva se e somente se \ker(T)=\{0\}, onde
\ker(T)=\{x\in U \mid T(x)=0\}.
Explicação rápida dessa equivalência (útil na prova):
Se \ker(T)=\{0\} e T(x)=T(y) então T(x-y)=T(x)-T(y)=0, logo x-y\in\ker(T) e, como o núcleo contém só o vetor zero, x-y=0, ou seja x=y. Assim núcleo trivial implica injetividade. (O outro sentido é óbvio: se T é injetiva, T(x)=0 implica x=0, então \ker(T)=\{0\}.)

Passo 3

Vamos usar uma propriedade fundamental do produto interno que é parte das definições dos espaços com produto interno:
Axioma de positividade do produto interno:
Para todo z em um espaço com produto interno, \langle z,z\rangle \ge 0 e \langle z,z\rangle = 0 se e somente se z=0.
Isso significa que o único vetor cujo produto interno consigo mesmo é zero é o vetor zero. Essa propriedade será o motor do nosso argumento.

Passo 4

Prova de que \ker(T)=\{0\}.
Pegue um vetor arbitrário x\in\ker(T). Por definição, isso significa T(x)=0 (o vetor zero em V). Agora aplique a igualdade de preservação do produto interno com y=x. Temos:
\langle T(x),T(x)\rangle_{V}=\langle x,x\rangle_{U}.
Como T(x)=0, o lado esquerdo é \langle 0,0\rangle_{V}=0. Portanto
\langle x,x\rangle_{U}=0.
Pela propriedade de positividade do produto interno (Passo 3), deste fato segue que x=0. Assim qualquer x\in\ker(T) é necessariamente o vetor zero, ou seja
\ker(T)=\{0\}.

Passo 5

Conclusão final: como o núcleo de T é \{0\}, pela equivalência entre núcleo trivial e injetividade para transformações lineares (Passo 2), concluímos que T é injetiva.
Se estiver meio tenso com provas desse tipo: a ideia chave é sempre procurar o núcleo e usar que produtos internos só anulam em vetores nulos — aqui a hipótese de isometria liga diretamente \langle T(x),T(x)\rangle_{V} com \langle x,x\rangle_{U}, fazendo a prova ficar curta e direta. Você consegue!

Resposta

Sim: toda isometria é injetiva.

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