Exercício 9 Uma isometria entre espaços com produto interno \left(V,\langle\cdot, \cdot\rangle_{V}\right) e \left(U,\langle\cdot, \cdot\rangle_{U}\right) é uma transformação linear T: U \rightarrow V que satisfaz
\langle T(x), T(y)\rangle_{V}=\langle x, y\rangle_{U}, \quad \forall x, y \in U
Mostre que toda rotação T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} é uma isometria.

Passo 1

O enunciado dá a definição: uma isometria entre espaços com produto interno \left(V,\langle\cdot,\cdot\rangle_{V}\right) e \left(U,\langle\cdot,\cdot\rangle_{U}\right) é uma transformação linear T:U\to V tal que
\langle T(x),T(y)\rangle_{V}=\langle x,y\rangle_{U},\quad \forall x,y\in U.
Pede-se para mostrar que toda rotação T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} é uma isometria. Informações relevantes que o enunciado fornece ou que vamos assumir (questão está bem formulada):
  • A rotação T é uma transformação linear em \mathbb{R}^{2} que gira vetores em torno da origem por um ângulo \theta.
  • Em \mathbb{R}^{2} usamos o produto interno euclidiano padrão, que para x=(x_{1},x_{2}) e y=(y_{1},y_{2}) é
\langle x,y\rangle = x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}.
O objetivo claro: provar que para qualquer rotação T e quaisquer vetores x,y\in\mathbb{R}^{2} vale \langle T(x),T(y)\rangle=\langle x,y\rangle.

Passo 2

Mostramos a forma matricial da rotação e que ela é linear. Uma rotação de ângulo \theta é dada pela multiplicação por uma matriz R_{\theta}. Explicitamente,
R_{\theta}=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\[4pt]\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}.
Aplicar a rotação a um vetor x\in\mathbb{R}^{2} é calcular R_{\theta}x. Como multiplicação por matriz é linear, R_{\theta} representa uma transformação linear T(x)=R_{\theta}x. Para lembrar: linearidade significa que para quaisquer escalares a,b e vetores x,y temos T(ax+by)=aT(x)+bT(y); isso é imediato para multiplicação de matrizes.]

Passo 3

Relembrando o produto interno euclidiano em linguagem matricial: para vetores coluna x,y\in\mathbb{R}^{2} vale
\langle x,y\rangle = x^{T}y.
Consequentemente a norma associada é \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle = x^{T}x. Esses são conceitos fáceis: o produto interno soma os produtos das componentes, e a norma é a raiz quadrada dessa soma.

Passo 4

Vamos usar a identidade matricial útil: para qualquer matriz A (de tamanho compatível) e vetores x,y,
(Ax)^{T}(Ay)=x^{T}A^{T}Ay.
Em termos de produto interno, isto diz
\langle Ax,Ay\rangle = x^{T}A^{T}Ay.
Explico por que: (Ax)^{T}(Ay) é a definição do produto interno dos vetores Ax e Ay; multiplica-se transposto de Ax por Ay e pela associatividade das multiplicações matriciais obtém-se x^{T}A^{T}Ay.

Passo 5

Agora calculemos explicitamente R_{\theta}^{T}R_{\theta}. Primeiro escrevemos a transposta:
R_{\theta}^{T}=\begin{pmatrix}\cos\theta & \sin\theta\\[4pt]-\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}.
Multiplicando R_{\theta}^{T}R_{\theta} calculamos término a termo (vou fazer cada entrada para você ver direitinho):
  • entrada (1,1): \cos\theta\cdot\cos\theta + \sin\theta\cdot\sin\theta = \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta = 1.
  • entrada (1,2): \cos\theta\cdot(-\sin\theta) + \sin\theta\cdot\cos\theta = -\cos\theta\sin\theta + \sin\theta\cos\theta = 0.
  • entrada (2,1): -\sin\theta\cdot\cos\theta + \cos\theta\cdot\sin\theta = -\sin\theta\cos\theta + \cos\theta\sin\theta = 0.
  • entrada (2,2): -\sin\theta\cdot(-\sin\theta) + \cos\theta\cdot\cos\theta = \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta = 1.
    Usamos a identidade trigonométrica básica \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1. Logo
R_{\theta}^{T}R_{\theta}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}=I.]

Passo 6

Aplicando a identidade do Passo 4 com A=R_{\theta} obtemos, para quaisquer x,y\in\mathbb{R}^{2},
\langle R_{\theta}x,\,R_{\theta}y\rangle = x^{T}R_{\theta}^{T}R_{\theta}y.
Pelo Passo 5 temos R_{\theta}^{T}R_{\theta}=I, então
\langle R_{\theta}x,\,R_{\theta}y\rangle = x^{T}Iy = x^{T}y = \langle x,y\rangle.
Isto mostra exatamente que T(x)=R_{\theta}x preserva o produto interno para todos os vetores.

Passo 7

Interpretando: como \langle R_{\theta}x,\,R_{\theta}x\rangle=\langle x,x\rangle a rotação preserva comprimentos (normas), e por preservar o produto interno ela também preserva ângulos. Tudo coincide com a intuição geométrica: girar não estica nem encolhe, só muda a direção. Portanto qualquer rotação é uma isometria segundo a definição do enunciado.

Passo 8

Pequeno exemplo numérico para fixar (opcional): para \theta=\tfrac{\pi}{2} temos
R_{\pi/2}=\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}.
Se x=(1,0) e y=(0,1) então R_{\pi/2}x=(0,1) e R_{\pi/2}y=(-1,0). O produto interno original é \langle x,y\rangle=0 e após a rotação \langle R_{\pi/2}x,R_{\pi/2}y\rangle = 0. Funciona!]

Resposta

Para toda rotação T=R_{\theta} e para todos x,y\in\mathbb{R}^{2} vale
\langle T(x),T(y)\rangle=\langle x,y\rangle,
ou seja, toda rotação T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} é uma isometria.

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