Exercício 9 Uma isometria entre espaços com produto interno
e
é uma transformação linear
que satisfaz
Mostre que toda rotação
é uma isometria.
Passo 1
O enunciado dá a definição: uma isometria entre espaços com produto interno
e
é uma transformação linear
tal que
Pede-se para mostrar que toda rotação
é uma isometria. Informações relevantes que o enunciado fornece ou que vamos assumir (questão está bem formulada):
- A rotação
é uma transformação linear em que gira vetores em torno da origem por um ângulo . - Em
usamos o produto interno euclidiano padrão, que para e é
O objetivo claro: provar que para qualquer rotação
e quaisquer vetores
vale
.
Passo 2
Mostramos a forma matricial da rotação e que ela é linear. Uma rotação de ângulo
é dada pela multiplicação por uma matriz
. Explicitamente,
Aplicar a rotação a um vetor
é calcular
. Como multiplicação por matriz é linear,
representa uma transformação linear
. Para lembrar: linearidade significa que para quaisquer escalares
e vetores
temos
; isso é imediato para multiplicação de matrizes.]
Passo 3
Relembrando o produto interno euclidiano em linguagem matricial: para vetores coluna
vale
Consequentemente a norma associada é
. Esses são conceitos fáceis: o produto interno soma os produtos das componentes, e a norma é a raiz quadrada dessa soma.
Passo 4
Vamos usar a identidade matricial útil: para qualquer matriz
(de tamanho compatível) e vetores
,
Em termos de produto interno, isto diz
Explico por que:
é a definição do produto interno dos vetores
e
; multiplica-se transposto de
por
e pela associatividade das multiplicações matriciais obtém-se
.
Passo 5
Agora calculemos explicitamente
. Primeiro escrevemos a transposta:
Multiplicando
calculamos término a termo (vou fazer cada entrada para você ver direitinho):
- entrada
: . - entrada
: . - entrada
: . - entrada
: .
Usamos a identidade trigonométrica básica. Logo
Passo 6
Aplicando a identidade do Passo 4 com
obtemos, para quaisquer
,
Pelo Passo 5 temos
, então
Isto mostra exatamente que
preserva o produto interno para todos os vetores.
Passo 7
Interpretando: como
a rotação preserva comprimentos (normas), e por preservar o produto interno ela também preserva ângulos. Tudo coincide com a intuição geométrica: girar não estica nem encolhe, só muda a direção. Portanto qualquer rotação é uma isometria segundo a definição do enunciado.
Passo 8
Pequeno exemplo numérico para fixar (opcional): para
temos
Se
e
então
e
. O produto interno original é
e após a rotação
. Funciona!]
Resposta
Para toda rotação
e para todos
vale
ou seja, toda rotação
é uma isometria.