Exercício 9 Uma isometria entre espaços com produto interno \left(V,\langle\cdot, \cdot\rangle_{V}\right) e \left(U,\langle\cdot, \cdot\rangle_{U}\right) é uma transformação linear T: U \rightarrow V que satisfaz
\langle T(x), T(y)\rangle_{V}=\langle x, y\rangle_{U}, \quad \forall x, y \in U
Mostre que são equivalentes
(i) T é uma isometria.
(ii) \|T(u)\|_{V}=\|u\|_{U}, para todo u \in U.
(iii) \|T(x)-T(y)\|_{V}=\|x-y\|_{U}, para todo x, y \in V.
(iv) Se \left\{u_{1}, \ldots, u_{n}\right\} é ortonormal em U, então \left\{T\left(u_{1}\right), \ldots, T\left(u_{n}\right)\right\} é ortonormal em V.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:U\to V entre espaços com produto interno \left(U,\langle\cdot,\cdot\rangle_{U}\right) e \left(V,\langle\cdot,\cdot\rangle_{V}\right) e define “isometria” como
\langle T(x),T(y)\rangle_{V}=\langle x,y\rangle_{U},\quad\forall x,y\in U.
O que devemos mostrar é que as quatro afirmativas abaixo são equivalentes:
(i) T é uma isometria (ou seja, preserva o produto interno).
(ii) \|T(u)\|_{V}=\|u\|_{U}, para todo u\in U (preservação de normas).
(iii) \|T(x)-T(y)\|_{V}=\|x-y\|_{U}, para todo x,y\in U (preservação de distâncias).
(iv) Se \{u_{1},\dots,u_{n}\} é ortonormal em U, então \{T(u_{1}),\dots,T(u_{n})\} é ortonormal em V.
A tarefa é provar as implicações necessárias para concluir que (i), (ii), (iii) e (iv) são logicamente equivalentes.

Passo 2

Prova de (\text{i})\Rightarrow(\text{ii}).
Lembrete/definição: a norma é induzida pelo produto interno pela fórmula \|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}. Então, se T preserva o produto interno temos, para todo u\in U,
\|T(u)\|_{V}^{2}=\langle T(u),T(u)\rangle_{V}=\langle u,u\rangle_{U}=\|u\|_{U}^{2}.
Tomando raiz não-negativa em ambos os lados obtém-se
\|T(u)\|_{V}=\|u\|_{U}.
Assim (i) implica (ii). Observação: usei apenas a definição de norma a partir do produto interno e a igualdade dada pela isometria.

Passo 3

Prova de (\text{ii})\Rightarrow(\text{i}).
Ideia: do conhecimento das normas de vetores e de soma de vetores conseguimos recuperar o produto interno via a identidade de polarização. Existem duas versões, conforme o corpo seja \mathbb{R} ou \mathbb{C}.
Caso real ( \mathbb{R}):
a identidade de polarização é
\langle x,y\rangle=\frac{1}{2}\big(\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}\big),\quad x,y\in U.
Agora, suponha (ii): \|T(z)\|_{V}=\|z\|_{U} para todo z. Usando linearidade de T (para ter T(x+y)=T(x)+T(y)) e a identidade acima, obtemos
\begin{aligned} \langle T(x),T(y)\rangle_{V} &=\tfrac{1}{2}\big(\|T(x)+T(y)\|_{V}^{2}-\|T(x)\|_{V}^{2}-\|T(y)\|_{V}^{2}\big)\\[4pt] &=\tfrac{1}{2}\big(\|T(x+y)\|_{V}^{2}-\|T(x)\|_{V}^{2}-\|T(y)\|_{V}^{2}\big)\\[4pt] &=\tfrac{1}{2}\big(\|x+y\|_{U}^{2}-\|x\|_{U}^{2}-\|y\|_{U}^{2}\big)\\[4pt] &=\langle x,y\rangle_{U}. \end{aligned}
Portanto (ii) implica (i) no caso real.
Caso complexo ( \mathbb{C}):
a fórmula de polarização complexa é
\langle x,y\rangle=\frac{1}{4}\Big(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i\|x+iy\|^{2}-i\|x-iy\|^{2}\Big).
O mesmo raciocínio (usar linearidade de T e que \|T(\cdot)\|=\|\cdot\|) dá
\langle T(x),T(y)\rangle_{V}=\langle x,y\rangle_{U}.
Conclusão: (ii) implica (i) tanto em espaços reais quanto complexos.]

Passo 4

Prova da equivalência (\text{ii})\Leftrightarrow(\text{iii}).
Primeiro (\text{ii})\Rightarrow(\text{iii}): para quaisquer x,y\in U,
pela linearidade de T temos T(x)-T(y)=T(x-y). Aplicando (ii),
\|T(x)-T(y)\|_{V}=\|T(x-y)\|_{V}=\|x-y\|_{U},
que é exatamente (iii).
Agora (\text{iii})\Rightarrow(\text{ii}): basta tomar y=0 em (iii). Como T(0)=0 pela linearidade, obtemos
\|T(x)\|_{V}=\|T(x)-T(0)\|_{V}=\|x-0\|_{U}=\|x\|_{U},
logo (iii) implica (ii). Assim (ii) e (iii) são equivalentes.

Passo 5

Prova de [(i)\Rightarrow(iv)).
Se \{u_{1},\dots,u_{n}\} é ortonormal em U então, para todo i,j,
\langle u_{i},u_{j}\rangle_{U}=\begin{cases}1,&i=j,\\[2pt]0,&i\ne j.\end{cases}
Como T\] preserva produtos internos por (i), temos para todo \[i,j
\langle T(u_{i}),T(u_{j})\rangle_{V}=\langle u_{i},u_{j}\rangle_{U}=\begin{cases}1,&i=j,\\[2pt]0,&i\ne j.\end{cases}
Isto mostra que \{T(u_{1}),\dots,T(u_{n})\}\] é ortonormal em \(V. Logo (i) implica (iv).]

Passo 6

Prova de (\text{iv})\Rightarrow(\text{ii}).
Queremos mostrar que \|T(u)\|_{V}=\|u\|_{U} para todo u. Trate o caso u=0 primeiro: T(0)=0 por linearidade, logo \|T(0)\|=0=\|0\|.
Agora tome u\neq 0. Defina v:=\dfrac{u}{\|u\|_{U}}. Então \|v\|_{U}=1, isto é, \{v\} é um conjunto ortonormal em U. Pela hipótese (iv), \{T(v)\} é ortonormal em V, logo \|T(v)\|_{V}=1. Usando linearidade de T,
T(u)=T\big(\|u\|_{U}\,v\big)=\|u\|_{U}\,T(v).
Tomando normas e lembrando que \|T(v)\|_{V}=1 obtemos
\|T(u)\|_{V}=\|u\|_{U}\,\|T(v)\|_{V}=\|u\|_{U}.
Assim (iv) implica (ii). (Observação: \|u\|_{U} é um número real não-negativo, por isso a multiplicação escalar e o valor absoluto não causam problemas.)

Passo 7

Conclusão das equivalências.
Reunindo as implicações que mostramos:
(\text{i})\Rightarrow(\text{ii}),\quad (\text{ii})\Rightarrow(\text{i}),\quad (\text{ii})\Leftrightarrow(\text{iii}),\quad (\text{i})\Rightarrow(\text{iv}),\quad (\text{iv})\Rightarrow(\text{ii}).
Portanto as quatro afirmações são equivalentes: cada uma implica todas as outras.

Resposta

(i)\Leftrightarrow (ii)\Leftrightarrow (iii)\Leftrightarrow (iv)

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