Exercício 9 Uma isometria entre espaços com produto interno
e
é uma transformação linear
que satisfaz
Mostre que são equivalentes
(i)
é uma isometria.
(ii)
, para todo
.
(iii)
, para todo
.
(iv) Se
é ortonormal em
, então
é ortonormal em
.
(i)
(ii)
(iii)
(iv) Se
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
entre espaços com produto interno
e
e define “isometria” como
O que devemos mostrar é que as quatro afirmativas abaixo são equivalentes:
(i)
é uma isometria (ou seja, preserva o produto interno).
(ii)
, para todo
(preservação de normas).
(iii)
, para todo
(preservação de distâncias).
(iv) Se
é ortonormal em
, então
é ortonormal em
.
A tarefa é provar as implicações necessárias para concluir que (i), (ii), (iii) e (iv) são logicamente equivalentes.
Passo 2
Prova de
.
Lembrete/definição: a norma é induzida pelo produto interno pela fórmula
. Então, se
preserva o produto interno temos, para todo
,
Tomando raiz não-negativa em ambos os lados obtém-se
Assim (i) implica (ii). Observação: usei apenas a definição de norma a partir do produto interno e a igualdade dada pela isometria.
Passo 3
Prova de
.
Ideia: do conhecimento das normas de vetores e de soma de vetores conseguimos recuperar o produto interno via a identidade de polarização. Existem duas versões, conforme o corpo seja
ou
.
Caso real (
):
a identidade de polarização é
a identidade de polarização é
Agora, suponha (ii):
para todo
. Usando linearidade de
(para ter
) e a identidade acima, obtemos
Portanto (ii) implica (i) no caso real.
Caso complexo (
):
a fórmula de polarização complexa é
a fórmula de polarização complexa é
O mesmo raciocínio (usar linearidade de
e que
) dá
Conclusão: (ii) implica (i) tanto em espaços reais quanto complexos.]
Passo 4
Prova da equivalência
.
Primeiro
: para quaisquer
,
pela linearidade de temos
. Aplicando (ii),
pela linearidade de
que é exatamente (iii).
Agora
: basta tomar
em (iii). Como
pela linearidade, obtemos
logo (iii) implica (ii). Assim (ii) e (iii) são equivalentes.
Passo 5
Prova de [(i)\Rightarrow(iv)).
Se
é ortonormal em
então, para todo
,
Como
Isto mostra que
. Logo (i) implica (iv).]
Passo 6
Prova de
.
Queremos mostrar que
para todo
. Trate o caso
primeiro:
por linearidade, logo
.
Agora tome
. Defina
. Então
, isto é,
é um conjunto ortonormal em
. Pela hipótese (iv),
é ortonormal em
, logo
. Usando linearidade de
,
Tomando normas e lembrando que
obtemos
Assim (iv) implica (ii). (Observação:
é um número real não-negativo, por isso a multiplicação escalar e o valor absoluto não causam problemas.)
Passo 7
Conclusão das equivalências.
Reunindo as implicações que mostramos:
Portanto as quatro afirmações são equivalentes: cada uma implica todas as outras.