Exercício 1. Nos itens abaixo, verifique se as formas são exatas, caso seja, resolva.
(x^2-y^2) d x+(x^2-2 x y) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a forma diferencial
M(x,y),dx + N(x,y),dy = (x^2 - y^2),dx + (x^2 - 2xy),dy = 0
e pede para verificar se ela é exata. Lembrando que uma forma é exata se, num domínio simplesmente conexo, vale
partial Mpartial y ;=;partial Npartial x

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y ;=;partialpartial y(x^2 - y^2);=;-2y,
partial Npartial x ;=;partialpartial x(x^2 - 2xy);=;2x - 2y
Como -2y neq 2x - 2y em geral, a condição de exatidão falha.

Resposta

A forma diferencial não é exata.

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