Exercício 1. Nos itens abaixo, verifique se as formas são exatas, caso seja, resolva.
(1-3y+x) d yd x+y=3x-1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
l(1 - 3y + xr)dydx + y = 3x - 1
Queremos verificar se é uma equação exata e, se for, encontrar sua solução implícita. Para isso, vamos colocar no formato
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
e usar a condição de exatidão partial M/partial y = partial N/partial x.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por dx e agrupamos termos:
y,dx - l(3x-1r)dx + l(1 - 3y + xr)dy=0
Logo identificamos
M(x,y)=y + 1 - 3x, N(x,y)=1 + x - 3y

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y =partialpartial yl(y + 1 - 3xr)=1, partial Npartial x =partialpartial xl(1 + x - 3yr)=1
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 4

Procuramos uma função potencial Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x=M(x,y)
Integramos M em relação a x:
Phi(x,y) =integrall(y + 1 - 3xr)dx =xy + x - 3ln x + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 5

Impondo
partial Phipartial y=N(x,y),
temos
partialpartial yl(xy + x - 3ln x + h(y)r) =x + h'(y) stackrel!=1 + x - 3y
Logo
h'(y)=1 - 3y,
e integrando em y:
h(y)=y - 3ln y

Passo 6

Assim a função potencial completa é
Phi(x,y) =xy + x - 3ln x + y - 3ln y
A solução geral implícita vem de
Phi(x,y)=C,
ou seja
xy + x + y - 3ln x - 3ln y = C,
com C constante arbitrária.

Resposta

A equação é exata e sua solução implícita é
xy + x + y - 3ln x - 3ln y = C

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