Exercício 1. Nos itens abaixo, verifique se as formas são exatas, caso seja, resolva.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
Queremos verificar se é uma equação exata e, se for, encontrar sua solução implícita. Para isso, vamos colocar no formato
e usar a condição de exatidão
.
Passo 2
Multiplicamos ambos os lados por
e agrupamos termos:
Logo identificamos
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Procuramos uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
:
onde
é uma função a determinar.
Passo 5
Impondo
temos
Logo
e integrando em
:
Passo 6
Assim a função potencial completa é
A solução geral implícita vem de
ou seja
com
constante arbitrária.
Resposta
A equação é exata e sua solução implícita é