Exercício 1. Nos itens abaixo, verifique se as formas são exatas, caso seja, resolva.
(3 x^2 y+e^y) d x+(x^3+x e^y-2 y) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(3x^2y + e^y),dx + (x^3 + x e^y - 2y),dy = 0
Estamos em Exatas, mais precisamente em equações diferenciais exatas. Vamos verificar se ela é exata calculando partial M/partial y e partial N/partial x.

Passo 2

Definimos
M(x,y) = 3x^2y + e^y, N(x,y) = x^3 + x e^y - 2y
Calculamos
partial Mpartial y = 3x^2 + e^y, partial Npartial x = 3x^2 + e^y
Como são iguais, a equação é exata.

Passo 3

Por ser exata, existe uma função potencial Psi(x,y) tal que
Psix = M(x,y)
Integramos M em x:
Psi(x,y) = integral (3x^2y + e^y),dx = x^3y + x e^y + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Para achar h(y), usamos
Psiy = N(x,y)
Calculamos
Psiy = x^3 + x e^y + h'(y)
e igualamos a
N = x^3 + x e^y - 2y,
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h'(y) = -2y, h(y) = -y^2

Passo 5

Substituindo h(y) em Psi, a solução geral implícita é
Psi(x,y) = x^3y + x e^y - y^2 = C

Resposta

x^3y + x e^y - y^2 = C

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