Exercício: Ao jogar dois dados, qual é a fração de jogadas nas quais os dois dados somam 4?
Passo 1
O enunciado pergunta: “Ao jogar dois dados, qual é a fração de jogadas nas quais os dois dados somam 4?”
Informações dadas (assumimos o modelo padrão):
- Cada dado é um dado comum com faces numeradas de
a . - Os dois dados são considerados distintos (ou seja, a ordem importa: primeiro dado e segundo dado).
- Queremos a fração (isto é, a razão) entre o número de resultados favoráveis (soma igual a
) e o número total de resultados possíveis.
Isso é tudo o que precisamos para começar a resolver.
Passo 2
Vamos modelar o espaço amostral (todos os resultados possíveis) e contar quantos resultados existem.
Cada dado tem
faces:
. Quando jogamos dois dados distinguíveis, cada resultado pode ser representado por um par ordenado
, onde
é o valor do primeiro dado e
é o valor do segundo dado. Pelo princípio fundamental da contagem (regra do produto), o número total de resultados possíveis é
Explicando a regra do produto: se você tem
opções para escolher o valor do primeiro dado e para cada uma delas tem
opções para o segundo, multiplica-se
por
para obter o total. Esses
resultados são igualmente prováveis se os dados forem justos.
Passo 3
Agora vamos achar os resultados favoráveis — aqueles pares
tais que
.
Listamos sistematicamente os possíveis
(do primeiro dado) e vemos qual
é necessário:
- Se
então precisa ser , o par é . - Se
então precisa ser , o par é . - Se
então precisa ser , o par é . - Se
já não é possível porque seria pelo menos .
Logo os pares favoráveis (peguei-os listando combinações possíveis) são
.
Passo 4
Contagem dos favoráveis: há exatamente
pares listados. Portanto o número de resultados favoráveis é
.
A probabilidade (ou fração de jogadas) pedida é a razão entre favoráveis e total, isto é
Aqui uso o conceito básico de probabilidade clássica: quando todos os resultados são igualmente prováveis, a probabilidade de um evento é
.
Passo 5
Vamos simplificar a fração
.
Para simplificar uma fração, dividimos numerador e denominador pelo máximo divisor comum (MDC). O MDC entre
e
é
. Então escrevemos
Passo 6
Cheguei até a operação de simplificação; a etapa final (resultado simplificado) eu vou deixar na seção de resposta final abaixo, conforme solicitado. Só quero reforçar: fizemos modelagem com pares ordenados, contei todos os
resultados possíveis e os
favoráveis, e mostrei como simplificar a fração usando o MDC. Você pode confiar nesse procedimento para problemas similares (por exemplo, soma igual a
ou
): liste pares que dão a soma desejada, conte-os, divida por
e simplifique.