Exercício 2. Lembre que o comprimento L de uma curva espacial \boldsymbol{r}:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \boldsymbol{r}(t)=(x(t), y(t), z(t)) é dado por
L=\int_{a}^{b}\left\|\boldsymbol{r}^{\prime}(t)\right\| d t=\int_{a}^{b} \sqrt{x^{\prime}(t)^{2}+y^{\prime}(t)^{2}+z^{\prime}(t)^{2}} d t
No presente caso, temos \boldsymbol{r}:[0,4 \pi] \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \boldsymbol{r}(t)=(\cos (2 t), \operatorname{sen}(2 t), k t) . \operatorname{Logo}, \boldsymbol{r}^{\prime}(t)=(-2 \operatorname{sen}(2 t), 2 \cos (2 t), k) e
L=\int_{0}^{4 \pi} \sqrt{4 \operatorname{sen}^{2}(2 t)+4 \cos ^{2}(2 t)+k^{2}} d t=\int_{0}^{4 \pi} \sqrt{4+k^{2}} d t=4 \pi \sqrt{4+k^{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o comprimento L da curva \boldsymbol{r}:[0,4\pi]\to\mathbb{R}^3 dada por
\boldsymbol{r}(t)=(\cos(2t),\;\operatorname{\sin}(2t),\;k t),
onde k é uma constante real. O intervalo de parâmetro é [a,b]=[0,4\pi].
Informações relevantes fornecidas:
  • A parametrização da curva: \boldsymbol{r}(t)=(\cos(2t),\;\operatorname{\sin}(2t),\;k t).
  • O intervalo do parâmetro: t\in[0,4\pi].
  • A constante k aparece na componente z(t)=k t.
  • A fórmula geral para o comprimento de curva:
L=\int_{a}^{b}\big\|\boldsymbol{r}^{\prime}(t)\big\|\,dt=\int_{a}^{b}\sqrt{x'(t)^{2}+y'(t)^{2}+z'(t)^{2}}\,dt.
O que se quer: calcular explicitamente o valor de L em função de k.

Passo 2

Recordando e explicando a fórmula do comprimento: para uma curva parametrizada por \boldsymbol{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)), a velocidade é \boldsymbol{r}'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t)) e a norma da velocidade é
\big\|\boldsymbol{r}'(t)\big\|=\sqrt{x'(t)^{2}+y'(t)^{2}+z'(t)^{2}}.
Geometricamente, integrar essa norma sobre o intervalo dá a soma (integral) de pequenos comprimentos \big\|\boldsymbol{r}'(t)\big\|\,dt, que aproximam o comprimento real da curva. Aqui, x'(t),y'(t),z'(t) são as derivadas das componentes em relação a t.
Agora vamos calcular as derivadas das componentes da parametrização dada, usando regras básicas de derivação:
  • Derivada de \cos(2t) em relação a t é -2\operatorname{\sin}(2t), porque \dfrac{d}{dt}\cos(au)=-a\sin(au) quando u=t.
  • Derivada de \operatorname{\sin}(2t) em relação a t é 2\cos(2t), porque \dfrac{d}{dt}\sin(au)=a\cos(au).
  • Derivada de k t em relação a t é k, já que k é constante.
Portanto
\boldsymbol{r}'(t)=(-2\operatorname{\sin}(2t),\;2\cos(2t),\;k).

Passo 3

Calcular a norma ao quadrado da velocidade (isso evita raízes desnecessárias até simplificar):
\big\|\boldsymbol{r}'(t)\big\|^{2}=(-2\operatorname{\sin}(2t))^{2}+(2\cos(2t))^{2}+k^{2}.
Desenvolvendo os quadrados:
(-2\operatorname{\sin}(2t))^{2}=4\operatorname{\sin}^{2}(2t), \qquad (2\cos(2t))^{2}=4\cos^{2}(2t).
Somando esses termos e adicionando k^{2}
\big\|\boldsymbol{r}'(t)\big\|^{2}=4\operatorname{\sin}^{2}(2t)+4\cos^{2}(2t)+k^{2}.
Usamos agora a identidade trigonométrica básica \operatorname{\sin}^{2}(\theta)+\cos^{2}(\theta)=1. Aplicando com \theta=2t obtemos \operatorname{\sin}^{2}(2t)+\cos^{2}(2t)=1. Assim
4\operatorname{\sin}^{2}(2t)+4\cos^{2}(2t)=4\big(\operatorname{\sin}^{2}(2t)+\cos^{2}(2t)\big)=4\cdot 1=4.
Portanto
\big\|\boldsymbol{r}'(t)\big\|^{2}=4+k^{2}.

Passo 4

Como \big\|\boldsymbol{r}'(t)\big\|^{2}=4+k^{2} é uma constante (não depende de t), a própria norma é a raiz positiva dessa constante:
\big\|\boldsymbol{r}'(t)\big\|=\sqrt{4+k^{2}},
que é uma constante para todo t no intervalo dado.
Quando o integrando é constante, a integral é simples: a integral de uma constante C em [a,b] é C\,(b-a). Aqui C=\sqrt{4+k^{2}}, a=0 e b=4\pi. Assim o comprimento é dado por
L=\int_{0}^{4\pi}\big\|\boldsymbol{r}'(t)\big\|\,dt=\int_{0}^{4\pi}\sqrt{4+k^{2}}\,dt=\sqrt{4+k^{2}}\cdot(4\pi-0).

Passo 5

Interpretação geométrica curta (para fixar ideia): a projeção da curva no plano xy é (\cos(2t),\sin(2t)), que descreve um círculo unitário percorrido com velocidade angular 2 (portanto duas voltas por 2\pi de t). A componente z(t)=k t acrescenta uma subida linear, formando uma hélice. O comprimento por unidade de t é constante porque a velocidade tem magnitude constante: a hélice é regular com velocidade constante \sqrt{4+k^{2}}. Multiplicando essa velocidade pela duração total 4\pi obtém-se o comprimento total.

Resposta

4\pi\sqrt{4+k^{2}}

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