Resolva os limites a seguir. Quando for o caso, indique a equação da reta assíntota vertical ou horizontal.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto onde se aproxima é
.
O que se quer: o valor do limite quandotende a e, se for o caso, a equação de alguma assíntota vertical ou horizontal associada a esse ponto.
Passo 2
Tentar primeiro a substituição direta para ver o tipo de limite (isso é sempre o primeiro teste rápido).
Calcular o numerador e o denominador em :
Calcular o numerador e o denominador em
Portanto obtemos a forma indeterminada
. Vou explicar isso: a forma
significa que a substituição direta não dá a resposta; pode haver um valor finito de limite, infinito ou nenhum limite. Precisa-se manipular a expressão algebraicamente para “cancelar” a causa da indeterminação.
Passo 3
Escolha do método: aqui aparece uma raiz quadrada no numerador, então o método clássico e mais simples é racionalizar o numerador multiplicando por sua conjugada. A conjugada de
é
. Multiplicar por essa conjugada (no numerador e no denominador) elimina a raiz no numerador através da diferença de quadrados.
Passo 4
Aplicar a racionalização passo a passo:
Multiplica-se numerador e denominador por :
Multiplica-se numerador e denominador por
No numerador usa-se a identidade
com
e
:
Passo 5
Substituir o numerador simplificado na expressão:
Agora, para
podemos cancelar o fator
no numerador e denominador:
Isso mostra que, para
próximo de
(mas diferente de
), a expressão original coincide com
. Assim o limite quando
é o mesmo que o limite dessa expressão simplificada.
Passo 6
Agora substituir
na expressão simplificada (agora é contínua nesse ponto):
Passo 7
Interpretação sobre continuidade e assíntotas: a função original não está definida em
(denominador zero), mas o limite existe e é finito (
). Isso é uma descontinuidade removível em
: se definíssemos o valor da função em
como
ela ficaria contínua ali. Como o limite não é infinito, não existe assíntota vertical em
. Assíntota horizontal não é pertinente aqui porque o enunciado pede o limite em um ponto finito; não há indicação de assíntota horizontal a partir deste limite.
Resposta
Não há assíntota vertical em
(a descontinuidade é removível).