Resolva os limites a seguir. Quando for o caso, indique a equação da reta assíntota vertical ou horizontal.
\lim _{x \rightarrow 7} \frac{\sqrt{x+2}-3}{x-7}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 7}\frac{\sqrt{x+2}-3}{x-7}.
Informações dadas:
  • A função é \dfrac{\sqrt{x+2}-3}{x-7}.
  • O ponto onde se aproxima é x=7.
    O que se quer: o valor do limite quando x tende a 7 e, se for o caso, a equação de alguma assíntota vertical ou horizontal associada a esse ponto.

Passo 2

Tentar primeiro a substituição direta para ver o tipo de limite (isso é sempre o primeiro teste rápido).
Calcular o numerador e o denominador em x=7:
\sqrt{7+2}-3=\sqrt{9}-3=3-3=0, \qquad 7-7=0.
Portanto obtemos a forma indeterminada 0/0. Vou explicar isso: a forma 0/0 significa que a substituição direta não dá a resposta; pode haver um valor finito de limite, infinito ou nenhum limite. Precisa-se manipular a expressão algebraicamente para “cancelar” a causa da indeterminação.

Passo 3

Escolha do método: aqui aparece uma raiz quadrada no numerador, então o método clássico e mais simples é racionalizar o numerador multiplicando por sua conjugada. A conjugada de \sqrt{x+2}-3 é \sqrt{x+2}+3. Multiplicar por essa conjugada (no numerador e no denominador) elimina a raiz no numerador através da diferença de quadrados.

Passo 4

Aplicar a racionalização passo a passo:
Multiplica-se numerador e denominador por \sqrt{x+2}+3:
\frac{\sqrt{x+2}-3}{x-7}\cdot\frac{\sqrt{x+2}+3}{\sqrt{x+2}+3} = \frac{(\sqrt{x+2}-3)(\sqrt{x+2}+3)}{(x-7)(\sqrt{x+2}+3)}.
No numerador usa-se a identidade (a-b)(a+b)=a^2-b^2 com a=\sqrt{x+2} e b=3:
(\sqrt{x+2}-3)(\sqrt{x+2}+3)=(\sqrt{x+2})^2-3^2 = (x+2)-9 = x-7.

Passo 5

Substituir o numerador simplificado na expressão:
\frac{(\sqrt{x+2}-3)(\sqrt{x+2}+3)}{(x-7)(\sqrt{x+2}+3)} = \frac{x-7}{(x-7)(\sqrt{x+2}+3)}.
Agora, para x\neq 7 podemos cancelar o fator x-7 no numerador e denominador:
\frac{x-7}{(x-7)(\sqrt{x+2}+3)}=\frac{1}{\sqrt{x+2}+3},\qquad x\neq 7.
Isso mostra que, para x próximo de 7 (mas diferente de 7), a expressão original coincide com \dfrac{1}{\sqrt{x+2}+3}. Assim o limite quando x\to7 é o mesmo que o limite dessa expressão simplificada.

Passo 6

Agora substituir x=7 na expressão simplificada (agora é contínua nesse ponto):
\lim_{x\to 7}\frac{1}{\sqrt{x+2}+3}=\frac{1}{\sqrt{7+2}+3}=\frac{1}{3+3}=\frac{1}{6}.

Passo 7

Interpretação sobre continuidade e assíntotas: a função original não está definida em x=7 (denominador zero), mas o limite existe e é finito ( \tfrac{1}{6}). Isso é uma descontinuidade removível em x=7: se definíssemos o valor da função em 7 como \tfrac{1}{6} ela ficaria contínua ali. Como o limite não é infinito, não existe assíntota vertical em x=7. Assíntota horizontal não é pertinente aqui porque o enunciado pede o limite em um ponto finito; não há indicação de assíntota horizontal a partir deste limite.

Resposta

\dfrac{1}{6}
Não há assíntota vertical em x=7 (a descontinuidade é removível).

Exercícios relacionados