Exercício 5. Lembrando que uma curva \alpha(t) no plano catesiando x y tem como derivada o vetor \alpha^{\prime}(t)= \left(x^{\prime}(t), y^{\prime}(t)\right), então x^{\prime}(t)=\frac{6 t-3 t x(t)}{t^{2}+1} e y^{\prime}(t)=2 t \sqrt{y(t)-1}. Logo,
\left\{\begin{aligned} \frac{d x}{d t}+\left(\frac{3 t}{1+t^{2}}\right) x=\frac{6 t}{t^{2}+1}, & x(0)=3 \\\ \frac{d y}{d t}=2 t \sqrt{y-1} d t, & y(0)=1 \end{aligned}\right.
Observe que a primeira equação é linear e a segunda é separável. No primeiro caso, o fator de integração é:
\mu(x)=\mathrm{e}^{\int p(t) d t} \quad \text { com } \quad p(t)=\frac{3 t}{1+t^{2}}
Assim,
\int \frac{3 t}{1+t^{2}} d t=\frac{3}{2} \int \frac{2 t}{1+t^{2}} d t=\frac{3}{2} \ln \left(1+t^{2}\right)=\ln \left(\left(1+t^{2}\right)^{3 / 2}\right) \Rightarrow \mu(t)=\left(1+t^{2}\right)^{3 / 2}
O objetivo implícito: determinar a posição \alpha(t)=(x(t),y(t)) para todo t (solução que satisfaz as condições iniciais).
Informações relevantes que vamos usar:
A primeira equação está escrita no formato \dfrac{dx}{dt}+p(t)\,x=q(t), ou seja, é uma equação de primeira ordem com termo linear em x. Para esse tipo usa-se o fator integrante \mu(t)=\mathrm{e}^{\int p(t)\,dt}.
A segunda equação envolve \sqrt{y-1} multiplicado por uma função de t, então podemos separar as variáveis y e t e integrar ambos os lados.
Passo 2
Resolver a equação para x(t) passo a passo (método do fator integrante).