Exercício 5. Lembrando que uma curva \alpha(t) no plano catesiando x y tem como derivada o vetor \alpha^{\prime}(t)= \left(x^{\prime}(t), y^{\prime}(t)\right), então x^{\prime}(t)=\frac{6 t-3 t x(t)}{t^{2}+1} e y^{\prime}(t)=2 t \sqrt{y(t)-1}. Logo,
\left\{\begin{aligned} \frac{d x}{d t}+\left(\frac{3 t}{1+t^{2}}\right) x=\frac{6 t}{t^{2}+1}, & x(0)=3 \\\ \frac{d y}{d t}=2 t \sqrt{y-1} d t, & y(0)=1 \end{aligned}\right.
Observe que a primeira equação é linear e a segunda é separável. No primeiro caso, o fator de integração é:
\mu(x)=\mathrm{e}^{\int p(t) d t} \quad \text { com } \quad p(t)=\frac{3 t}{1+t^{2}}
Assim,
\int \frac{3 t}{1+t^{2}} d t=\frac{3}{2} \int \frac{2 t}{1+t^{2}} d t=\frac{3}{2} \ln \left(1+t^{2}\right)=\ln \left(\left(1+t^{2}\right)^{3 / 2}\right) \Rightarrow \mu(t)=\left(1+t^{2}\right)^{3 / 2}
Multiplicando a equação pelo fator, obtemos:
\left(\left(1+t^{2}\right)^{3 / 2} x(t)\right)^{\prime}=\left(1+t^{2}\right)^{3 / 2} \frac{6 t}{1+t^{2}}=\left(1+t^{2}\right)^{1 / 2} 6 t
de modo que, integrando,
\left(1+t^{2}\right)^{3 / 2} x(t)=3 \int\left(1+t^{2}\right)^{1 / 2} 2 t d t=3 \int \sqrt{u} d u=2 u^{3 / 2}+C_{1}=2\left(1+t^{2}\right)^{3 / 2}+C_{1}
Portanto, x(t)=2+C_{1}\left(1+t^{2}\right)^{-3 / 2}. Para calcular o valor de C_{1}, aplicamos a condição inicial, i.e.,
x(0)=3 \Rightarrow 2+C_{1}=3 \Rightarrow C_{1}=1
Podemos resolver a segunda equação separando as variáveis:
\frac{d y}{\sqrt{y-1}}=2 t d t \Rightarrow 2 \int \frac{d u}{2 \sqrt{u}}=t^{2}+C_{2} \Rightarrow 2 \sqrt{u}=t^{2}+C_{2} \Rightarrow \sqrt{y-1}=\frac{1}{2}\left(t^{2}+C_{2}\right)
Para calcular o valor de C_{2}, aplicamos a condição inicial, i.e., y(0)=1 \Rightarrow C_{2}=0
Portanto, a posição da partícula em cada instante t é:
\alpha(t)=\left(2+\left(1+t^{2}\right)^{-3 / 2}, 1+\frac{t^{4}}{4}\right)

Passo 1

O que o enunciado dá (tudo o que vem do enunciado):
  • Duas equações diferenciais para as componentes x(t) e y(t) da curva \alpha(t):
\frac{d x}{d t}+\left(\frac{3 t}{1+t^{2}}\right) x=\frac{6 t}{1+t^{2}}, \qquad x(0)=3
\frac{d y}{d t}=2 t\sqrt{y-1}, \qquad y(0)=1
  • O objetivo implícito: determinar a posição \alpha(t)=(x(t),y(t)) para todo t (solução que satisfaz as condições iniciais).
Informações relevantes que vamos usar:
  • A primeira equação está escrita no formato \dfrac{dx}{dt}+p(t)\,x=q(t), ou seja, é uma equação de primeira ordem com termo linear em x. Para esse tipo usa-se o fator integrante \mu(t)=\mathrm{e}^{\int p(t)\,dt}.
  • A segunda equação envolve \sqrt{y-1} multiplicado por uma função de t, então podemos separar as variáveis y e t e integrar ambos os lados.

Passo 2

Resolver a equação para x(t) passo a passo (método do fator integrante).
  • Identificar p(t) e q(t):
p(t)=\frac{3t}{1+t^{2}},\qquad q(t)=\frac{6t}{1+t^{2}}.
  • Calcular o fator integrante \mu(t)=\mathrm{e}^{\int p(t)\,dt}. Vamos calcular \int \dfrac{3t}{1+t^{2}}\,dt.
Primeiro manipular a integral:
\int \frac{3t}{1+t^{2}}\,dt = \frac{3}{2}\int \frac{2t}{1+t^{2}}\,dt.
Reconhece-se \int \dfrac{2t}{1+t^{2}}\,dt = \ln(1+t^{2}). Logo
\int \frac{3t}{1+t^{2}}\,dt = \frac{3}{2}\ln(1+t^{2}).
  • Então
\mu(t)=\mathrm{e}^{\frac{3}{2}\ln(1+t^{2})}=\bigl(1+t^{2}\bigr)^{3/2}.

Passo 3

Multiplicar a equação por \mu(t) para obter uma derivada de produto e integrar.
  • Multiplicando ambos os lados por \mu(t):
\bigl(1+t^{2}\bigr)^{3/2}\frac{dx}{dt}+\bigl(1+t^{2}\bigr)^{3/2}\frac{3t}{1+t^{2}}x =\bigl(1+t^{2}\bigr)^{3/2}\frac{6t}{1+t^{2}}.
  • O lado esquerdo é a derivada do produto \dfrac{d}{dt}\!\bigl[(1+t^{2})^{3/2}x(t)\bigr]. Portanto
\frac{d}{dt}\!\bigl[(1+t^{2})^{3/2}x(t)\bigr]=6t\,(1+t^{2})^{1/2}.
  • Integramos ambos os lados em relação a t:
(1+t^{2})^{3/2}x(t)=\int 6t\,(1+t^{2})^{1/2}\,dt + C_1.
  • Fazer a substituição u=1+t^{2} para calcular a integral do lado direito. Então du=2t\,dt, ou 6t\,dt=3\,du. Assim
\int 6t\,(1+t^{2})^{1/2}\,dt = \int 3\,u^{1/2}\,du = 3\cdot\frac{2}{3}u^{3/2} = 2u^{3/2}.
  • Voltando a t:
(1+t^{2})^{3/2}x(t)=2(1+t^{2})^{3/2}+C_1.
  • Dividindo por (1+t^{2})^{3/2}:
x(t)=2 + C_1(1+t^{2})^{-3/2}.

Passo 4

Aplicar a condição inicial para x(0)=3 e determinar C_1.
  • Substituir t=0 em x(t):
x(0)=2 + C_1(1+0)^{-3/2}=2+C_1=3.
  • Daí C_1=1. Logo
x(t)=2+(1+t^{2})^{-3/2}.

Passo 5

Resolver a equação para y(t) passo a passo (separação de variáveis).
  • Reescrever a equação:
\frac{dy}{dt}=2t\sqrt{y-1}.
  • Separar variáveis colocando os termos em y de um lado e em t do outro:
\frac{dy}{\sqrt{y-1}} = 2t\,dt.
  • Integrar ambos os lados. Calcular a integral do lado esquerdo: usar a substituição v=y-1 implica dv=dy e \int v^{-1/2}dv = 2v^{1/2}. Assim
\int \frac{dy}{\sqrt{y-1}} = 2\sqrt{y-1}.
  • Integrando o lado direito:
\int 2t\,dt = t^{2} + C_2.
  • Logo, depois da integração:
2\sqrt{y-1}=t^{2}+C_2.

Passo 6

Aplicar a condição inicial y(0)=1 e encontrar C_2; então isolar y(t).
  • Substituindo t=0 e y(0)=1 em 2\sqrt{y-1}=t^{2}+C_2:
2\sqrt{0}=0+C_2 \implies C_2=0.
  • Portanto 2\sqrt{y-1}=t^{2}, ou
\sqrt{y-1}=\frac{t^{2}}{2}.
  • Elevando ao quadrado para obter y:
y-1=\frac{t^{4}}{4}\quad\Rightarrow\quad y(t)=1+\frac{t^{4}}{4}.

Passo 7

Juntar as componentes e escrever a posição da partícula \alpha(t).
  • As soluções encontradas foram
x(t)=2+(1+t^{2})^{-3/2},\qquad y(t)=1+\frac{t^{4}}{4}.
  • Portanto a curva posição é
\alpha(t)=\bigl(x(t),y(t)\bigr)=\left(2+(1+t^{2})^{-3/2},\;1+\frac{t^{4}}{4}\right).

Resposta

\alpha(t)=\left(2+\left(1+t^{2}\right)^{-3/2},\;1+\dfrac{t^{4}}{4}\right)

Exercícios relacionados