Exercício 6. Levando em conta a tricotomia ,
a) mostre que a negação de a<b é b \leqslant a.
b) qual é a negação de b \leqslant a ?
c) qual é a negação de a=b ?

Passo 1

O enunciado explora a propriedade de tricotomia dos números reais, que diz que, dados a e b, exatamente uma das três afirmações é verdadeira:
a < b,\quad a = b,\quad b < a.
Para encontrar negações de sentenças envolvendo <, \leqslant e =, vamos usar equivalências lógicas (negação, leis de De Morgan) e a própria tricotomia.

Passo 2

(a) Queremos \neg (a < b). Pela tricotomia,
a<b \;\vee\; a=b \;\vee\; b<a
é verdadeiro e só uma alternativa vale. Logo,
\neg(a<b)\quad\Longleftrightarrow\quad (a=b)\;\vee\;(b<a).
Mas a definição de b\leqslant a é justamente “ b<a ou b=a”. Portanto
\neg(a<b)\;=\;b\leqslant a.

Passo 3

(b) Agora \neg\bigl(b\leqslant a\bigr). Primeiro note que
b\leqslant a\quad\Longleftrightarrow\quad (b<a)\;\vee\;(b=a).
Aplicando a negação e a lei de De Morgan:
\neg\bigl(b\leqslant a\bigr) \;=\;\neg(b<a)\;\wedge\;\neg(b=a).
A negação de b<a é b\geqslant a, isto é a\leqslant b, e a negação de b=a é b\neq a. Para que a\leqslant b e b\neq a sejam simultaneamente verdadeiras, só resta a<b. Logo
\neg\bigl(b\leqslant a\bigr)\;=\;a<b.

Passo 4

(c) Por fim \neg(a=b). Novamente, pela tricotomia, a=b é alternativa exclusiva de a<b e b<a. Então
\neg(a=b)\quad\Longleftrightarrow\quad (a<b)\;\vee\;(b<a),
ou seja, a\neq b.

Resposta

a) \neg(a<b)=b\leqslant a.
b) \neg(b\leqslant a)=a<b.
c) \neg(a=b) é “ a<b ou b<a” (ou seja, a\neq b).

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