Exercício 7. Seja a \in \mathbb{Z}. Mostre que
0 \leqslant a^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em todo inteiro a, o quadrado a^2 é sempre maior ou igual a zero. O que vamos usar é que em \mathbb{Z} a ordem é compatível com a multiplicação: se x\ge0 e y\ge0, então xy\ge0. Dividimos a prova em dois casos: a\ge0 e a<0.

Passo 2

Suponha que a\ge0. Então a e também a são não-negativos, logo pela compatibilidade da ordem com a multiplicação temos
a^2 = a\cdot a \;\ge\; 0\cdot a = 0.

Passo 3

Suponha agora que a<0. Então -a>0. Aplicando o mesmo argumento do passo anterior a -a, obtemos
(-a)^2 \;=\; (-a)\cdot(-a) \;\ge\; 0.
Mas (-a)^2 = a^2, logo também neste caso a^2\ge0.

Resposta

Para todo a\in\mathbb{Z}, a^2\ge0.

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