Exercício 7. Seja
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em todo inteiro
, o quadrado
é sempre maior ou igual a zero. O que vamos usar é que em
a ordem é compatível com a multiplicação: se
e
, então
. Dividimos a prova em dois casos:
e
.
Passo 2
Suponha que
. Então
e também
são não-negativos, logo pela compatibilidade da ordem com a multiplicação temos
Passo 3
Suponha agora que
. Então
. Aplicando o mesmo argumento do passo anterior a
, obtemos
Mas
, logo também neste caso
.
Resposta
Para todo
,
.