Exercício 5. Mostre que a relação
é uma relação de ordem em
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a relação
em
é uma relação de ordem. No curso de Teoria de Conjuntos e Relações, uma relação de ordem deve satisfazer três propriedades: reflexividade, antissimetria e transitividade. Vamos verificar cada uma delas para a relação “menor ou igual” em
.
Passo 2
Provar que
é reflexiva.
Por definição, reflexividade exige que para todo tenhamos
.
Mas na reta dos números inteiros, qualquer inteiro é igual a si próprio, logo é sempre verdadeiro. Assim,
é reflexiva em
.
Por definição, reflexividade exige que para todo
Mas na reta dos números inteiros, qualquer inteiro é igual a si próprio, logo
Passo 3
Provar que
é antissimétrica.
Antissimetria exige: se e
, então
.
Suponha e
. Isso significa que
e
. Somando as duas desigualdades,
Antissimetria exige: se
Suponha
Como
e
só podem acontecer simultaneamente se
, concluímos
. Logo,
é antissimétrica.
Passo 4
Provar que
é transitiva.
Transitividade exige: se e
, então
.
Partindo de (ou seja,
) e de
(ou seja,
), somamos
Transitividade exige: se
Partindo de
o que equivale a
. Portanto, a relação é transitiva em
.
Passo 5
Concluímos que a relação
sobre
satisfaz as três propriedades exigidas (reflexividade, antissimetria e transitividade).
Resposta
A relação
é uma relação de ordem em
.