Exercício 5. Mostre que a relação \leqslant é uma relação de ordem em \mathbb{Z}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a relação \leqslant em \mathbb{Z} é uma relação de ordem. No curso de Teoria de Conjuntos e Relações, uma relação de ordem deve satisfazer três propriedades: reflexividade, antissimetria e transitividade. Vamos verificar cada uma delas para a relação “menor ou igual” em \mathbb{Z}.

Passo 2

Provar que \leqslant é reflexiva.
Por definição, reflexividade exige que para todo a\in\mathbb{Z} tenhamos a \leqslant a.
Mas na reta dos números inteiros, qualquer inteiro é igual a si próprio, logo a \leqslant a é sempre verdadeiro. Assim, \leqslant é reflexiva em \mathbb{Z}.

Passo 3

Provar que \leqslant é antissimétrica.
Antissimetria exige: se a \leqslant b e b \leqslant a, então a = b.
Suponha a \leqslant b e b \leqslant a. Isso significa que b - a \ge 0 e a - b \ge 0. Somando as duas desigualdades,
(b - a) + (a - b) \ge 0 + 0 \;\;\Longrightarrow\;\; 0 \ge 0.
Como b - a \ge 0 e a - b \ge 0 só podem acontecer simultaneamente se b - a = 0, concluímos a = b. Logo, \leqslant é antissimétrica.

Passo 4

Provar que \leqslant é transitiva.
Transitividade exige: se a \leqslant b e b \leqslant c, então a \leqslant c.
Partindo de a \leqslant b (ou seja, b - a \ge 0) e de b \leqslant c (ou seja, c - b \ge 0), somamos
(b - a) + (c - b) \ge 0 + 0 \;\;\Longrightarrow\;\; c - a \ge 0,
o que equivale a a \leqslant c. Portanto, a relação é transitiva em \mathbb{Z}.

Passo 5

Concluímos que a relação \leqslant sobre \mathbb{Z} satisfaz as três propriedades exigidas (reflexividade, antissimetria e transitividade).

Resposta

A relação \leqslant é uma relação de ordem em \mathbb{Z}.

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