Exercício 5.2 do Lienhard:
5.2 A body of known volume and surface area and temperature
is suddenly immersed in a bath whose temperature is rising as
. Let us suppose that
is known, that
, and that
is measured from the time of immersion. The Biot number of the body is small. Find the temperature response of the body. Plot the response and the bath temperature as a function of time up to
. (Do not use Laplace transform methods except, perhaps, as a check.)
5.2 A body of known volume and surface area and temperature
Passo 1
Beleza, vamos recapitular:
Temos um corpo de volume , área de superfície
, densidade
, calor específico
e temperatura inicial
. Num instante
ele é mergulhado num banho cuja temperatura varia com o tempo assim:
Temos um corpo de volume
com
. Além disso, o número de Biot é pequeno, ou seja, podemos tratar o corpo à temperatura uniforme (modelo lumped).
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- A equação de balanço de energia para modelo lumped:
- Identificar que
e usar . - Resolver a EDO por fator integrante ou por convolução.
Passo 2
Vamos montar a EDO:
Dividindo tudo por
:
Mas como
, nossa equação fica
Passo 3
Agora usamos fator integrante. A equação padrão é
O fator integrante é
.
Multiplicando a EDO por :
Multiplicando a EDO por
Integramos de 0 até
:
Sabendo que
, separamos a integral em duas partes:
Somando 1) e 2) e voltando na expressão:
Isolando
:
Passo 4
Pronto! Essa é a temperatura do corpo em função do tempo:
Para o gráfico até
, basta traçar:
-
(curva que cresce rápido), -
acima (começa em e “persegue” o banho com atraso).