Exercício 5.2 do Lienhard:
5.2 A body of known volume and surface area and temperature Ti is suddenly immersed in a bath whose temperature is rising as T bath =Ti+(T0-Ti) e^t / tau. Let us suppose that barh is known, that tau=10 rho c V / barh A, and that t is measured from the time of immersion. The Biot number of the body is small. Find the temperature response of the body. Plot the response and the bath temperature as a function of time up to t=2 tau. (Do not use Laplace transform methods except, perhaps, as a check.)

Passo 1

Beleza, vamos recapitular:
Temos um corpo de volume Tbath(t)=Ti + (T0 - Ti),e^t/tau, , área de superfície m c,dTdt ;=; bar h,Al[Tbath(t)-T(t)r] , densidade , calor específico e temperatura inicial . Num instante ele é mergulhado num banho cuja temperatura varia com o tempo assim:
com . Além disso, o número de Biot é pequeno, ou seja, podemos tratar o corpo à temperatura uniforme (modelo lumped).
O que vamos precisar:
  1. A equação de balanço de energia para modelo lumped:
  2. Identificar que e usar .
  3. Resolver a EDO por fator integrante ou por convolução.

Passo 2

Vamos montar a EDO:
rho V,c,dTdt =bar h,Al[Ti + (T0-Ti)e^t/tau-T(t)r]
Dividindo tudo por dTdt + bar hArho Vc,T =bar hArho Vcl[Ti + (T0-Ti)e^t/taur] :
dTdt + 110tau,T =110taul[Ti + (T0-Ti)e^t/taur]
Mas como , nossa equação fica

Passo 3

Agora usamos fator integrante. A equação padrão é
dTdt + a,T = a,g(t), a=110tau, g(t)=Ti+(T0-Ti)e^t/tau
O fator integrante é ddtl[T(t)e^t/(10tau)r] = ;a,g(t),e^t/(10tau) .
Multiplicando a EDO por T(t)e^t/(10tau) - T(0)e^0 = integral0^t 110taul[Ti+(T0-Ti)e^u/taur]e^u/(10tau),du :
T(t)e^t/(10tau) - Ti = Til(e^t/(10tau)-1r) + T0-Ti11l(e^11t/(10tau)-1r)
Integramos de 0 até T(t)e^t/(10tau) = Ti,e^t/(10tau) +T0-Ti11l(e^11t/(10tau)-1r) :
T(t) = Ti + T0-Ti11,e^11t/(10tau)-1e^t/(10tau) = Ti + T0-Ti11l(e^t/tau-e^-t/(10tau)r)
Sabendo que , separamos a integral em duas partes:
Somando 1) e 2) e voltando na expressão:
Isolando :

Passo 4

Pronto! Essa é a temperatura do corpo em função do tempo:
boxed% T(t) = Ti + T0 - Ti11 l(e^t/tau - e^-,t/(10tau)r)
Para o gráfico até , basta traçar:
  • (curva que cresce rápido),
  • acima (começa em e “persegue” o banho com atraso).

Resposta

, com os perfis de e plotados até .

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