Recozimento é um processo no qual o aço é reaquecido e depois resfriado a fim de torná-lo menos quebradiço. Considere o estágio de reaquecimento para uma placa de aço de 100 mm de espessura ( k=48 W / mK, rho=7830 kg / m^3 e cp=550 J / kg. K) , a qual está a uma temperatura mínima de 550^circ C. O aquecimento é efetuado em um forno a gás, onde os produtos da combustão a 800^circ C mantém um coeficiente de convecção h=250 W / m^2. K nas duas superfícies da placa. Quanto tempo a placa deverá ser deixada no forno, sendo a temperatura inicial da placa de 200^circ C ? Para esse tempo verifique a temperatura superficial da placa. Assumindo que a superfície negra do forno tenha a mesma temperatura do meio de 800^circ C, verifique se o coeficiente de transferência de calor de radiação pode ser desprezado e comente seu resultado.

Passo 1

O exercício é de transferência de calor transiente num corpo (placa de aço) sujeito a convecção em ambas as faces. Precisamos:
  • Dados da placa: espessura total 100 mm (logo meio-comprimento L=0,05,m),
    k=48,W/mK, rho=7830,kg/m³, cp=550,J/(kg·K).
  • Condições de contorno: Ti=200^circC inicial, forno e gases a Tinfty=800^circC, coeficiente de convecção h=250,W/(m²·K).
  • Queremos o tempo para a temperatura mínima atingir 550^circC (isto é, centro da placa Tc=550^circC), verificar Ts(t) e estimar o coeficiente de radiação.
    Vai rolar: número de Biot, número de Fourier, solução em série (1º termo) para parede plana, raiz característica, etc.

Passo 2

Calcular propriedades térmicas e números adimensionais:
  1. Difusividade térmica alpha = krho,cp = 487830cdot550approx1,115times10^-5,m^2/s,
    2. Biot
    Bi=h,Lk=250cdot0,0548approx0,26,
Como Bi>0,1, não vale hipótese de corpo “a temperatura única” (método de lumped), precisamos da solução do problema de condução transiente em uma placa simétrica com convecção.

Passo 3

Solução em 1 termo para variação adimensional da temperatura no centro ( x=0):
Tc(t)-TinftyTi-Tinfty=A1exp(-mu1^2,Fo),
com
- número de Fourier Fo=alpha,tL^2,
- mu1 primeira raiz de mutanmu=Bi,
- coeficiente $A_1=\frac{4\sin\mu_1}{2\mu_1+\sin(2\mu_1)},. $
Para A1=4sinmu12mu1+sin(2mu1), acha-se numericamente Bi=0,26 e então
mu1approx0,49

Passo 4

Tempo para Tc=550^circC:
  1. Normalização: Tc-TinftyTi-Tinfty=550-800200-800=-250-600=0,417,
    2. Isolar Fo:
    $$0{,}417 = A_1 e{-\mu_12,\mathrm{Fo}}\quad\Longrightarrow\quad\mathrm{Fo} = -\frac{1}{\mu_1^2}\ln!\Big(\frac{0.417}{1.04}\Big)\approx3{,}80,. 0,417 = A1 e^-mu1^2,FoLongrightarrow Fo = -1mu1^2ln!(0.4171.04)approx3,80, t = \mathrm{Fo},\frac{L^2}{\alpha} =3{,}80;\frac{(0{,}05)2}{1{,}115\times10{-5}}
    \approx852\ \mathrm{s}\approx14{,}2\ \min\,. $$

Passo 5

Temperatura da superfície ( x=L) no mesmo instante:
Ts-TinftyTi-Tinfty =A1cos(mu1),e^-mu1^2,Fo =1,04cdotcos(0,49),e^-0,49^2cdot3,80 approx0,369,
Logo
$$T_s = T_\infty +0{,}369,(T_i-T_\infty)
=800-0{,}369\cdot600\approx578{,}6^\circ\mathrm{C},. $$

Passo 6

Coeficiente de radiação (assumindo emissividade varepsilon=1 pra “superfície negra”):
hr = sigmal(Tinfty,K^2+Ts,K^2r),(Tinfty,K+Ts,K),
onde Tinfty,K=800+273=1073,K, Ts,K=579+273=852,K e sigma=5,67times10^-8.
Calculando:
$$h_r\approx5{,}67\times10{-8}\times(1{,}151\times106+0{,}726\times10^6)\times1925
\approx205\ \mathrm{W/(m^2K)},. $$
Esse valor é da mesma ordem de grandeza que hrapprox5,67times10^-8times(1,151times10^6+0,726times10^6)times1925 approx205 W/(m^2K), W/(m²K), então a radiação é relevante e não pode ser desprezada.

Resposta

Tempo necessário: aproximadamente 14,2 min.
Temperatura da superfície então: cerca de 579 °C.
Coeficiente de radiação hrapprox205,W/(m²K), comparável a h=250,W/(m²K), logo não dá pra desprezar.

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