Exercício 3:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{2 x-8}{2 x^{3}-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite unilateral
\lim_{x\to0^{+}}\frac{2x-8}{2x^{3}-x^{2}}
O conteúdo é limites de funções racionais que podem divergir para infinito. Vamos usar fatoração para identificar a ordem dominante de x no numerador e denominador e determinar o sinal do quociente.

Passo 2

Fatoramos o denominador para expor as potências de x:
2x^{3}-x^{2}=x^{2}(2x-1).

Passo 3

Reescrevemos a fração usando essa fatoração:
\frac{2x-8}{2x^{3}-x^{2}} =\frac{2(x-4)}{x^{2}(2x-1)}.

Passo 4

Analisamos cada parte quando x\to0^{+}:
– O fator \frac{x-4}{x^{2}} comporta-se como
\frac{x-4}{x^{2}}\sim\frac{-4}{x^{2}}\to -\infty.
– O fator \frac{2}{2x-1} tende a
\frac{2}{2\cdot0-1}=\frac{2}{-1}=-2.
Portanto, o produto
\frac{2(x-4)}{x^{2}(2x-1)} = \frac{x-4}{x^{2}}\;\cdot\;\frac{2}{2x-1}
é o produto de -\infty por -2, que dá +\infty.

Resposta

+\infty

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