Exercício lista, calcule ângulo principal, tensões principais e tensão cisalhante máxima
a) sigma x=-10, sigma y=50 e tau x y=40

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que no plano temos uma tensão normal em x de , em y de e uma tensão de cisalhamento . O conteúdo é “estados planos de tensão” e a gente vai usar a ideia do Círculo de Mohr e fórmulas de transformação de tensão pra achar:
  • ângulo principal (orientação das tensões principais),
  • as tensões principais e ,
  • e a tensão de cisalhamento máxima .

Passo 2

Primeiro, a gente calcula a tensão média (centro do Círculo de Mohr):
sigmam = sigmax + sigmay2 = -10 + 502 = 20
Teoria: é só o ponto médio entre e no eixo das normais.

Passo 3

Agora o raio R = raizl(sigmax - sigmay2r)^2 + tauxy^2 = raizl(-10 - 502r)^2 + 40^2 = raiz(-30)^2 + 1600 = raiz900 + 1600 = 50 do Círculo de Mohr, que também é a máxima tensão de cisalhamento:
Teoria: esse mede o “tamanho” do círculo, ou seja, o quanto a tensão se espalha.

Passo 4

As tensões principais são sigma1 = 20 + 50 = 70, sigma2 = 20 - 50 = -30 e :
Isso faz sentido porque no Círculo de Mohr elas são os pontos mais à direita e à esquerda.

Passo 5

Pra achar o ângulo tan(2thetap) = 2,tauxysigmax - sigmay = 2cdot40-10 - 50 = 80-60 = -43 (orientação da lâmina onde surgem 2thetap = arctan!l(-tfrac43r) approx -53,13^circ Rightarrow thetap approx -26,57^circ e ), usamos:
Então
Teoria: o ângulo de transformação vem da razão entre a componente de cisalhamento e a diferença de normais.

Passo 6

Pra confirmar, a tensão de cisalhamento máxima é justamente taumax = R = 50 :

Resposta

Ângulo principal ;
Tensões principais , ;
Tensão cisalhante máxima .

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