Sendo o vetor V1=6 i+8 j e V2=-5 i+10 j-40 k determine o produto vetorial expresso por:
a) V=V1 times V2
b) V=V2 times V1
c) O produto vetorial é comutativo?

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar o produto vetorial entre dois vetores
vec V1 times vec V2 = i & j & k [3pt] 6 & 8 & 0 [3pt] -5 & 10 & -40

Isso é um exercício de produto vetorial (ou cross product) em geometria analítica 3D.
Para resolver a gente vai usar a definição via determinante:
[
\vec V_1 \times \vec V_2


]
A partir daí é só expandir e repetir trocando a ordem pra ver se dá o mesmo resultado (comutatividade).

Passo 2

Vamos calcular vec V1 times vec V2 = i,(8cdot(-40) - 0cdot10) - j,(6cdot(-40) - 0cdot(-5)) + k,(6cdot10 - 8cdot(-5)) por determinante:
vec V1 times vec V2 = -320,i + 240,j + 100,k
Agora os cálculos:
  • Componente :
  • Componente : , mas tem o sinal “menos” na frente, virando
  • Componente :
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Passo 3

Agora vec V2 times vec V1 = -l(vec V1 times vec V2r) = -(-320,i + 240,j + 100,k) = 320,i - 240,j - 100,k . Se a gente trocar as linhas no determinante, troca o sinal do resultado. Então

Passo 4

Repare que .
Isso mostra que o produto vetorial não é comutativo: quando invertemos a ordem, o vetor resultante ganha sinal trocado.

Resposta

a)
b)
c) Não é comutativo (na verdade é anticomutativo, pois ).

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