Calcule.
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(x-\sqrt{x^{2}+1}\right)

Passo 1

Vamos entender claramente o que o problema pede. Precisamos calcular o seguinte limite:
\lim_{x\to\infty}\left(x-\sqrt{x^{2}+1}\right).
Dados relevantes:
  • A variável que cresce é x e a aproximação é quando x tende para +\infty.
  • A expressão envolve uma diferença entre x e \sqrt{x^{2}+1}, que tem a forma indeterminada \infty-\infty se tentarmos avaliar direto.

Passo 2

Por que \infty-\infty é indeterminado e o que fazer?
Quando temos duas quantidades que crescem sem limite e subtraímos uma da outra, não dá para simplesmente substituir x=\infty. É preciso manipular a expressão para uma forma que permita calcular o limite. Uma técnica padrão para expressões com raízes é racionalizar usando o conjugado.

Passo 3

Aplicar o truque do conjugado. Multiplicamos numerador e denominador por x+\sqrt{x^{2}+1} (o conjugado):
x-\sqrt{x^{2}+1} =\frac{\bigl(x-\sqrt{x^{2}+1}\bigr)\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr)}{x+\sqrt{x^{2}+1}}.
No numerador aparece uma diferença de quadrados; vamos simplificar:
\bigl(x-\sqrt{x^{2}+1}\bigr)\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr) = x^{2}-\bigl(\sqrt{x^{2}+1}\bigr)^{2} = x^{2}-(x^{2}+1) = -1.
Portanto obtemos a forma simplificada
x-\sqrt{x^{2}+1} = \frac{-1}{\,x+\sqrt{x^{2}+1}\,}.

Passo 4

Agora analiso o comportamento do denominador quando x\to\infty. Para x>0 vale
\sqrt{x^{2}+1} > \sqrt{x^{2}} = x,
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x+\sqrt{x^{2}+1} > x+x = 2x.
Como 2x\to\infty quando x\to\infty, segue que x+\sqrt{x^{2}+1}\to\infty. Assim o denominador cresce sem limite.

Passo 5

Com o numerador fixo em -1 e o denominador indo para +\infty, a fração tende a 0. Observação sobre o sinal: numerador é negativo e denominador é positivo para x>0, então a expressão é negativa e tende a 0 por valores negativos (ou seja, aproxima-se de 0 pela esquerda). Portanto
\lim_{x\to\infty}\frac{-1}{\,x+\sqrt{x^{2}+1}\,}=0.

Passo 6

Verificação alternativa (intuição assintótica, opcional): fatorando x,
x-\sqrt{x^{2}+1}=x\Bigl(1-\sqrt{1+\tfrac{1}{x^{2}}}\Bigr).
Como \sqrt{1+t}=1+\tfrac{t}{2}+o(t) quando t\to0, para t=\tfrac{1}{x^{2}} temos \sqrt{1+\tfrac{1}{x^{2}}}=1+\tfrac{1}{2x^{2}}+o\!\bigl(\tfrac{1}{x^{2}}\bigr). Então
x\Bigl(1-\sqrt{1+\tfrac{1}{x^{2}}}\Bigr)\approx x\Bigl(-\tfrac{1}{2x^{2}}\Bigr)=-\tfrac{1}{2x}\to0,
confirmando que o limite é 0.

Resposta

0

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