Calcule.
Passo 1
Vamos entender claramente o que o problema pede. Precisamos calcular o seguinte limite:
Dados relevantes:
- A variável que cresce é
e a aproximação é quando tende para . - A expressão envolve uma diferença entre
e , que tem a forma indeterminada se tentarmos avaliar direto.
Passo 2
Por que
é indeterminado e o que fazer?
Quando temos duas quantidades que crescem sem limite e subtraímos uma da outra, não dá para simplesmente substituir . É preciso manipular a expressão para uma forma que permita calcular o limite. Uma técnica padrão para expressões com raízes é racionalizar usando o conjugado.
Quando temos duas quantidades que crescem sem limite e subtraímos uma da outra, não dá para simplesmente substituir
Passo 3
Aplicar o truque do conjugado. Multiplicamos numerador e denominador por
(o conjugado):
No numerador aparece uma diferença de quadrados; vamos simplificar:
Portanto obtemos a forma simplificada
Passo 4
Agora analiso o comportamento do denominador quando
. Para
vale
logo
Como
quando
, segue que
. Assim o denominador cresce sem limite.
Passo 5
Com o numerador fixo em
e o denominador indo para
, a fração tende a
. Observação sobre o sinal: numerador é negativo e denominador é positivo para
, então a expressão é negativa e tende a
por valores negativos (ou seja, aproxima-se de
pela esquerda). Portanto
Passo 6
Verificação alternativa (intuição assintótica, opcional): fatorando
,
Como
quando
, para
temos
. Então
confirmando que o limite é
.