Exercício 1.8. Se
e
, calcule usando as propriedades do logaritmo
. Resp:
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
A pergunta é: calcular
usando propriedades dos logaritmos.
Passo 2
Propriedades dos logaritmos que vamos usar (aqui a base pode ser qualquer base fixa
,
; a demonstração abaixo usa a base
para ilustrar, mas vale em geral):
- Produto:
Demonstração curta: se
e
, então
e
. Logo
e
.
- Potência:
Demonstração curta: se
então
e
, logo
.
- Quociente:
que é consequência das propriedades acima (produto com
).
- Raiz (caso especial da potência):
Essas regras permitem transformar expressões logarítmicas envolvendo produtos, quocientes, potências e raízes em somas, subtrações e multiplicações por constantes — muito útil em prova.
Passo 3
Aplicar as propriedades passo a passo à expressão pedida.
Primeiro escrever a expressão dentro do log como produto/quociente de potências:
Agora usar a propriedade do produto em
e a da raiz:
Usando a propriedade da potência em
:
Juntando tudo:
Substituir os valores fornecidos (
,
,
):
Calcular cada termo:
Portanto
Passo 4
Conclusão e dica rápida: não foi preciso conhecer
numericamente — só as suas imagens pelos logaritmos. Em provas, sempre que vir produto/quociente/raiz dentro de um log, converta para soma/subtração/multiplicação usando as propriedades acima; isso economiza tempo e evita cálculo direto com os números.