Exercício 1.8. Se \log a=11, \log b=0,5 e \log c=6, calcule usando as propriedades do logaritmo \log \left(\frac{a b^{2}}{\sqrt[3]{c}}\right). Resp: \log \left(\frac{a b^{2}}{\sqrt[3]{c}}\right)=10.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • \log a = 11
  • \log b = 0,5
  • \log c = 6
A pergunta é: calcular \log\!\left(\dfrac{a b^{2}}{\sqrt[3]{c}}\right) usando propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Propriedades dos logaritmos que vamos usar (aqui a base pode ser qualquer base fixa >0, \neq1; a demonstração abaixo usa a base 10 para ilustrar, mas vale em geral):
  1. Produto:
\log(xy)=\log x+\log y.
Demonstração curta: se \log x = p e \log y = q, então x=10^{p} e y=10^{q}. Logo xy=10^{p+q} e \log(xy)=p+q=\log x+\log y.
  1. Potência:
\log(x^{k})=k\log x.
Demonstração curta: se \log x=p então x=10^{p} e x^{k}=10^{kp}, logo \log(x^{k})=kp=k\log x.
  1. Quociente:
\log\!\left(\frac{x}{y}\right)=\log x-\log y,
que é consequência das propriedades acima (produto com y^{-1}).
  1. Raiz (caso especial da potência):
\log\!\left(\sqrt[n]{x}\right)=\log\!\left(x^{1/n}\right)=\frac{1}{n}\log x.
Essas regras permitem transformar expressões logarítmicas envolvendo produtos, quocientes, potências e raízes em somas, subtrações e multiplicações por constantes — muito útil em prova.

Passo 3

Aplicar as propriedades passo a passo à expressão pedida.
Primeiro escrever a expressão dentro do log como produto/quociente de potências:
\log\!\left(\frac{a b^{2}}{\sqrt[3]{c}}\right) = \log(a b^{2}) - \log\!\left(\sqrt[3]{c}\right).
Agora usar a propriedade do produto em \log(a b^{2}) e a da raiz:
\log(a b^{2}) = \log a + \log(b^{2}), \qquad \log\!\left(\sqrt[3]{c}\right)=\log\!\left(c^{1/3}\right)=\tfrac{1}{3}\log c.
Usando a propriedade da potência em \log(b^{2}):
\log(b^{2}) = 2\log b.
Juntando tudo:
\log\!\left(\frac{a b^{2}}{\sqrt[3]{c}}\right) = \log a + 2\log b - \tfrac{1}{3}\log c.
Substituir os valores fornecidos ( \log a=11, \log b=0,5, \log c=6):
\log\!\left(\frac{a b^{2}}{\sqrt[3]{c}}\right) = 11 + 2\cdot 0,5 - \tfrac{1}{3}\cdot 6.
Calcular cada termo:
2\cdot 0,5 = 1,\qquad \tfrac{1}{3}\cdot 6 = 2.
Portanto
11 + 1 - 2 = 10.

Passo 4

Conclusão e dica rápida: não foi preciso conhecer a,b,c numericamente — só as suas imagens pelos logaritmos. Em provas, sempre que vir produto/quociente/raiz dentro de um log, converta para soma/subtração/multiplicação usando as propriedades acima; isso economiza tempo e evita cálculo direto com os números.

Resposta

\log \left(\frac{a b^{2}}{\sqrt[3]{c}}\right)=10

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