Uma sorveteria, a partir de exaustivos estudos, descobriu que a função
expressa o lucro diário que a sorveteria obtém em função do preço. Pergunta-se:
(a) Quais os intervalos de preço que fazem a empresa trabalhar no prejuízo?
(b) Qual o intervalo de preço que a empresa opera com lucro?
(c) Qual o preço que propicia maior lucro?
(d) Imagine que, subitamente, o mercado tornou-se mais exigente querendo produtos de melhor qualidade. Nosso empresário descobriu que, na nova situação a função que melhor representa o Lucro diário em função do preço de venda é
. Você recomendaria um novo preço de venda? Ou manteria o preço da situação anterior?
(a) Quais os intervalos de preço que fazem a empresa trabalhar no prejuízo?
(b) Qual o intervalo de preço que a empresa opera com lucro?
(c) Qual o preço que propicia maior lucro?
(d) Imagine que, subitamente, o mercado tornou-se mais exigente querendo produtos de melhor qualidade. Nosso empresário descobriu que, na nova situação a função que melhor representa o Lucro diário em função do preço de venda é
Passo 1
O enunciado dá duas funções lucro-diário em função do preço
:
- Situação inicial:
. - Nova situação (qualidade superior):
.
E pede:
(a) os intervalos de preço em que a empresa trabalha no prejuízo (ou seja, );
(b) o intervalo de preço em que a empresa opera com lucro (ou seja, );
(c) o preço que propicia maior lucro (máximo de na situação inicial);
(d) dado o novo lucro, recomendar manter o preço anterior ou adotar um novo preço.
(a) os intervalos de preço em que a empresa trabalha no prejuízo (ou seja,
(b) o intervalo de preço em que a empresa opera com lucro (ou seja,
(c) o preço que propicia maior lucro (máximo de
(d) dado o novo lucro, recomendar manter o preço anterior ou adotar um novo preço.
Passo 2
Conceitos essenciais (aulas rápidas e amigáveis):
- Função quadrática geral:
. Aqui são números fixos. - Forma geométrica: o gráfico de
é uma parábola. - Se
a parábola abre para baixo (tem máximo). - Se
abre para cima (tem mínimo).
- Se
- Zeros/raízes: pontos onde
são obtidos pela fórmula quadrática (fórmula de Bhaskara):
- O discriminante
diz quantas raízes reais existem: se há duas raízes reais distintas. - Sinal da parábola: quando
(abre para baixo), a função é positiva entre as duas raízes e negativa fora delas; quando o contrário. - Vértice (x do máximo/mínimo): coordenada
do vértice é
e o valor máximo (ou mínimo) é
.
Vou aplicar essas ideias passo a passo às duas funções.
Passo 3
Analisando a função inicial
.
Primeiro, notar que podemos fatorar
para simplificar a visão:
Aqui
, então a parábola abre para baixo — há um máximo e o lucro será positivo entre as raízes e negativo fora.
Calcular as raízes usando a fórmula:
Calcular o discriminante:
Extrair a raiz quadrada:
Aplicar a fórmula:
Simplificando (dividindo numerador e denominador por
):
Portanto as duas raízes são
Em valores aproximados (úteis para interpretação prática):
Passo 4
Determinar intervalos de lucro/prejuízo para a função inicial.
Como
, a parábola abre para baixo. Assim:
-
(lucro) ocorre para entre as raízes:
Numericamente:
.
-
(prejuízo) ocorre fora desse intervalo:
Numericamente:
ou
.
Passo 5
Achar o preço que propicia maior lucro (vértice) na situação inicial.
Fórmula do
do vértice:
Calcular o lucro máximo:
Portanto o preço que dá maior lucro é
e o lucro máximo é
.
Passo 6
Analisar a nova função da situação exigente:
Primeiro,
, então também abre para baixo (há máximo).
Encontrar o vértice:
Calcular o lucro no vértice:
Assim, na nova situação o lucro máximo é
obtido em
.
Para comparar a faixa de lucro (opcional, só para entender onde há prejuízo/ lucro):
Calcular as raízes (breve cálculo):
Calcular as raízes (breve cálculo):
Raízes:
Aproximação numérica:
Logo, lucro na nova situação ocorre para
(aprox).
Passo 7
Conclusão e recomendação (explicação prática e empática):
- Situação inicial: lucro máximo
em . - Nova situação (melhor qualidade): lucro máximo
em .
Como o novo lucro máximo () é maior que o antigo ( ), e o preço que atinge esse máximo mudou de para , a recomendação econômica é ajustar o preço para na nova situação — isto é, adotar o novo preço, pois resulta em lucro diário maior. (Além disso, a faixa de preços com lucro na nova situação é mais ampla, o que dá mais margem de operação.)
Resposta
(a) Prejuízo para
e para
.
(b) Lucro para (aprox.
).
(c) Preço que propicia maior lucro: . Lucro máximo
.
(d) Recomendo adotar o novo preço , pois na nova situação o lucro máximo é
, maior que o lucro máximo anterior (300).
(b) Lucro para
(c) Preço que propicia maior lucro:
(d) Recomendo adotar o novo preço