Uma sorveteria, a partir de exaustivos estudos, descobriu que a função L(x)= -100 x^{2}+400 x-100 expressa o lucro diário que a sorveteria obtém em função do preço. Pergunta-se:
(a) Quais os intervalos de preço que fazem a empresa trabalhar no prejuízo?
(b) Qual o intervalo de preço que a empresa opera com lucro?
(c) Qual o preço que propicia maior lucro?
(d) Imagine que, subitamente, o mercado tornou-se mais exigente querendo produtos de melhor qualidade. Nosso empresário descobriu que, na nova situação a função que melhor representa o Lucro diário em função do preço de venda é L(x)=-50 x^{2}+300 x-120. Você recomendaria um novo preço de venda? Ou manteria o preço da situação anterior?

Passo 1

O enunciado dá duas funções lucro-diário em função do preço x:
  • Situação inicial: L(x) = -100 x^{2} + 400 x - 100.
  • Nova situação (qualidade superior): L(x) = -50 x^{2} + 300 x - 120.
E pede:
(a) os intervalos de preço em que a empresa trabalha no prejuízo (ou seja, L(x)<0);
(b) o intervalo de preço em que a empresa opera com lucro (ou seja, L(x)>0);
(c) o preço que propicia maior lucro (máximo de L na situação inicial);
(d) dado o novo lucro, recomendar manter o preço anterior ou adotar um novo preço.

Passo 2

Conceitos essenciais (aulas rápidas e amigáveis):
  • Função quadrática geral: \;L(x)=ax^{2}+bx+c\;. Aqui a,b,c são números fixos.
  • Forma geométrica: o gráfico de \;L(x)\; é uma parábola.
    • Se \;a<0\; a parábola abre para baixo (tem máximo).
    • Se \;a>0\; abre para cima (tem mínimo).
  • Zeros/raízes: pontos onde \;L(x)=0\; são obtidos pela fórmula quadrática (fórmula de Bhaskara):
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad \Delta=b^{2}-4ac.
  • O discriminante \Delta diz quantas raízes reais existem: se \Delta>0 há duas raízes reais distintas.
  • Sinal da parábola: quando \;a<0\; (abre para baixo), a função é positiva entre as duas raízes e negativa fora delas; quando \;a>0\; o contrário.
  • Vértice (x do máximo/mínimo): coordenada x do vértice é
x_{v}=\frac{-b}{2a},
e o valor máximo (ou mínimo) é L(x_{v}).
Vou aplicar essas ideias passo a passo às duas funções.

Passo 3

Analisando a função inicial \;L(x)=-100 x^{2}+400 x-100.
Primeiro, notar que podemos fatorar -100 para simplificar a visão:
L(x)=-100\bigl(x^{2}-4x+1\bigr).
Aqui \;a=-100<0\;, então a parábola abre para baixo — há um máximo e o lucro será positivo entre as raízes e negativo fora.
Calcular as raízes usando a fórmula:
a=-100,\quad b=400,\quad c=-100.
Calcular o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=400^{2}-4\cdot(-100)\cdot(-100)=160000-40000=120000.
Extrair a raiz quadrada:
\sqrt{\Delta}=\sqrt{120000}=100\sqrt{12}=200\sqrt{3}.
Aplicar a fórmula:
x=\frac{-400\pm 200\sqrt{3}}{2\cdot(-100)}=\frac{-400\pm 200\sqrt{3}}{-200}.
Simplificando (dividindo numerador e denominador por -200):
x=2\mp\sqrt{3}.
Portanto as duas raízes são
x_{1}=2-\sqrt{3},\qquad x_{2}=2+\sqrt{3}.
Em valores aproximados (úteis para interpretação prática):
2-\sqrt{3}\approx 0,268,\qquad 2+\sqrt{3}\approx 3,732.

Passo 4

Determinar intervalos de lucro/prejuízo para a função inicial.
Como \;a=-100<0\;, a parábola abre para baixo. Assim:
  • L(x)>0 (lucro) ocorre para x entre as raízes:
2-\sqrt{3}<x<2+\sqrt{3}.
Numericamente: 0,268<x<3,732.
  • L(x)<0 (prejuízo) ocorre fora desse intervalo:
x<2-\sqrt{3}\quad\text{ou}\quad x>2+\sqrt{3}.
Numericamente: x<0,268 ou x>3,732.

Passo 5

Achar o preço que propicia maior lucro (vértice) na situação inicial.
Fórmula do x do vértice:
x_{v}=\frac{-b}{2a}=\frac{-400}{2\cdot(-100)}=\frac{-400}{-200}=2.
Calcular o lucro máximo:
L(2)=-100\cdot 2^{2}+400\cdot 2-100=-100\cdot 4+800-100=-400+800-100=300.
Portanto o preço que dá maior lucro é x=2 e o lucro máximo é \;L(2)=300.

Passo 6

Analisar a nova função da situação exigente:
L(x)=-50x^{2}+300x-120.
Primeiro, a=-50<0, então também abre para baixo (há máximo).
Encontrar o vértice:
x_{v}=\frac{-b}{2a}=\frac{-300}{2\cdot(-50)}=\frac{-300}{-100}=3.
Calcular o lucro no vértice:
L(3)=-50\cdot 3^{2}+300\cdot 3-120=-50\cdot 9+900-120=-450+900-120=330.
Assim, na nova situação o lucro máximo é \;330 obtido em x=3.
Para comparar a faixa de lucro (opcional, só para entender onde há prejuízo/ lucro):
Calcular as raízes (breve cálculo):
a=-50,\quad b=300,\quad c=-120,
\Delta=300^{2}-4\cdot(-50)\cdot(-120)=90000-24000=66000.
\sqrt{\Delta}= \sqrt{66000}=20\sqrt{165}.
Raízes:
x=\frac{-300\pm 20\sqrt{165}}{2\cdot(-50)}=\frac{300\mp 20\sqrt{165}}{100}=3\mp\frac{1}{5}\sqrt{165}.
Aproximação numérica:
x\approx 0,431\quad\text{e}\quad x\approx 5,569.
Logo, lucro na nova situação ocorre para 0,431<x<5,569 (aprox).

Passo 7

Conclusão e recomendação (explicação prática e empática):
  • Situação inicial: lucro máximo \;300 em x=2.
  • Nova situação (melhor qualidade): lucro máximo \;330 em x=3.
    Como o novo lucro máximo ( 330) é maior que o antigo ( 300), e o preço que atinge esse máximo mudou de 2 para 3, a recomendação econômica é ajustar o preço para x=3 na nova situação — isto é, adotar o novo preço, pois resulta em lucro diário maior. (Além disso, a faixa de preços com lucro na nova situação é mais ampla, o que dá mais margem de operação.)

Resposta

(a) Prejuízo para x<2-\sqrt{3}\approx 0,268 e para x>2+\sqrt{3}\approx 3,732.
(b) Lucro para 2-\sqrt{3}<x<2+\sqrt{3} (aprox. 0,268<x<3,732).
(c) Preço que propicia maior lucro: x=2. Lucro máximo \;L(2)=300.
(d) Recomendo adotar o novo preço x=3, pois na nova situação o lucro máximo é \;L(3)=330, maior que o lucro máximo anterior (300).

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