onde a é um escalar (qualquer número real). Pede-se: determinar dois vetores unitários que sejam ortogonais a \mathbf{u} e a \mathbf{v} ao mesmo tempo.
Informações relevantes que eu retiro do enunciado:
Os vetores dados têm coordenadas \mathbf{u}=(a,1,0) e \mathbf{v}=(1,0,1) se os escrevermos pelas componentes em (x,y,z).
“Unitário” significa que o vetor final deve ter norma igual a 1.
Existem exatamente dois vetores unitários ortogonais a ambos: eles são opostos um do outro (mesma direção, sentidos contrários).
Passo 2
O que significa ser ortogonal a ambos os vetores?
Um vetor \mathbf{w}=(x,y,z) é ortogonal a \mathbf{u} e a \mathbf{v} se e somente se os produtos escalares com cada um forem nulos:
Explicando o produto escalar (lembrete): para \mathbf{p}=(p_1,p_2,p_3) e \mathbf{q}=(q_1,q_2,q_3),
\mathbf{p}\cdot\mathbf{q}=p_1q_1+p_2q_2+p_3q_3.
Portanto, as condições para \mathbf{w}=(x,y,z) são
ax + 1\cdot y + 0\cdot z = 0 \quad\text{(isto é, \(\;ax+y=0\))},
1\cdot x + 0\cdot y + 1\cdot z = 0 \quad\text{(isto é, \(\;x+z=0\))}.
Passo 3
Resolver as equações lineares obtidas. Das equações:
ax + y = 0 \quad\Rightarrow\quad y = -ax,
x + z = 0 \quad\Rightarrow\quad z = -x.
Assim qualquer vetor \mathbf{w} ortogonal a \mathbf{u} e \mathbf{v} tem a forma, em função de x livre:
\mathbf{w} = (x,\,-ax,\,-x) = x\,(1,\,-a,\,-1).
Ou seja, a direção comum dos vetores ortogonais é dada pelo vetor (1,-a,-1). Isso faz sentido: o espaço das soluções é uma reta (dimensão 1) em \mathbb{R}^3.
Passo 4
Método prático alternativo (rápido): o produto vetorial (cross product) de \mathbf{u}\times\mathbf{v} fornece diretamente um vetor perpendicular a ambos. Calculando: