Determine dois vetores unitários que sejam ortogonais \mathrm{a} \mathbf{i}+\mathbf{j} e \mathbf{i}+\mathbf{k}.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^3:
\mathbf{u}=a\mathbf{i}+\mathbf{j},\qquad \mathbf{v}=\mathbf{i}+\mathbf{k},
onde a é um escalar (qualquer número real). Pede-se: determinar dois vetores unitários que sejam ortogonais a \mathbf{u} e a \mathbf{v} ao mesmo tempo.
Informações relevantes que eu retiro do enunciado:
  • Os vetores dados têm coordenadas \mathbf{u}=(a,1,0) e \mathbf{v}=(1,0,1) se os escrevermos pelas componentes em (x,y,z).
  • “Unitário” significa que o vetor final deve ter norma igual a 1.
  • Existem exatamente dois vetores unitários ortogonais a ambos: eles são opostos um do outro (mesma direção, sentidos contrários).

Passo 2

O que significa ser ortogonal a ambos os vetores?
Um vetor \mathbf{w}=(x,y,z) é ortogonal a \mathbf{u} e a \mathbf{v} se e somente se os produtos escalares com cada um forem nulos:
\mathbf{w}\cdot\mathbf{u}=0,\qquad \mathbf{w}\cdot\mathbf{v}=0.
Explicando o produto escalar (lembrete): para \mathbf{p}=(p_1,p_2,p_3) e \mathbf{q}=(q_1,q_2,q_3),
\mathbf{p}\cdot\mathbf{q}=p_1q_1+p_2q_2+p_3q_3.
Portanto, as condições para \mathbf{w}=(x,y,z) são
ax + 1\cdot y + 0\cdot z = 0 \quad\text{(isto é, \(\;ax+y=0\))},é
1\cdot x + 0\cdot y + 1\cdot z = 0 \quad\text{(isto é, \(\;x+z=0\))}.é

Passo 3

Resolver as equações lineares obtidas. Das equações:
ax + y = 0 \quad\Rightarrow\quad y = -ax,
x + z = 0 \quad\Rightarrow\quad z = -x.
Assim qualquer vetor \mathbf{w} ortogonal a \mathbf{u} e \mathbf{v} tem a forma, em função de x livre:
\mathbf{w} = (x,\,-ax,\,-x) = x\,(1,\,-a,\,-1).
Ou seja, a direção comum dos vetores ortogonais é dada pelo vetor (1,-a,-1). Isso faz sentido: o espaço das soluções é uma reta (dimensão 1) em \mathbb{R}^3.

Passo 4

Método prático alternativo (rápido): o produto vetorial (cross product) de \mathbf{u}\times\mathbf{v} fornece diretamente um vetor perpendicular a ambos. Calculando:
\mathbf{u}\times\mathbf{v}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ a & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1\cdot1-0\cdot0)-\mathbf{j}(a\cdot1-0\cdot1)+\mathbf{k}(a\cdot0-1\cdot1).
Fazendo as contas:
\mathbf{u}\times\mathbf{v}=\mathbf{i}-a\mathbf{j}-\mathbf{k},
ou nas componentes (1,-a,-1), que coincide com o que encontramos resolvendo os produtos escalares.

Passo 5

Agora normalizar: transformar a direção (1,-a,-1) em vetores unitários. Primeiro calcular a norma desse vetor:
\|\,(1,-a,-1)\,\|=\sqrt{1^{2}+(-a)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{1+a^{2}+1}=\sqrt{a^{2}+2}.
Explicando: a norma (ou comprimento) de (x,y,z) é \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Dividindo a direção pelo seu comprimento obtemos o(s) vetor(es) unitário(s):
\pm\frac{1}{\sqrt{a^{2}+2}}\,(1,-a,-1).
O símbolo \pm indica os dois vetores unitários (mesma direção, sentidos opostos).

Passo 6

Verificação rápida (boa prática para prova): checar que esses vetores são ortogonais aos dados e têm norma 1.
Produto escalar com \mathbf{u}=(a,1,0):
\left(\frac{1}{\sqrt{a^{2}+2}}(1,-a,-1)\right)\cdot(a,1,0) =\frac{1}{\sqrt{a^{2}+2}}\bigl(a + (-a)\cdot1 + (-1)\cdot0\bigr) =\frac{1}{\sqrt{a^{2}+2}}(a-a)=0.
Produto escalar com \mathbf{v}=(1,0,1):
\left(\frac{1}{\sqrt{a^{2}+2}}(1,-a,-1)\right)\cdot(1,0,1) =\frac{1}{\sqrt{a^{2}+2}}\bigl(1 + (-a)\cdot0 + (-1)\cdot1\bigr) =\frac{1}{\sqrt{a^{2}+2}}(1-1)=0.
Norma:
\left\|\frac{1}{\sqrt{a^{2}+2}}(1,-a,-1)\right\| =\frac{1}{\sqrt{a^{2}+2}}\sqrt{1+a^{2}+1}=1.
Tudo confere.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a^{2}+2}}\,(1,-a,-1)
\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{a^{2}+2}}\,(1,-a,-1)

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