Exercício 5. Um lojista mantém extensos registros das vendas diárias de certo aparelho. A tabela a seguir fornece a função de probabilidade da variável aleatória X : número de aparelhos vendidos semanalmente:
k 0 1 2 3 4 5
p_{X}(k) 0,1 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1
Em uma determinada semana, calcule
(a) a probabilidade de que ao menos 3 aparelhos sejam vendidos.
(b) a probabilidade de que no máximo 2 aparelhos sejam vendidos.
(c) o número médio de aparelhos vendidos e o desvio padrão.

Passo 1

O enunciado descreve uma variável aleatória discreta X que representa o número de aparelhos vendidos numa semana, com função de probabilidade dada pela tabela
\begin{array}{c|cccccc} k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\hline p_{X}(k) & 0,1 & 0,1 & 0,2 & 0,3 & 0,2 & 0,1 \end{array}
Precisamos calcular
a) \Pr(X\ge3),
b) \Pr(X\le2),
c) o valor esperado E[X] e o desvio padrão \sigma_X.

Passo 2

Para a probabilidade de que ao menos 3 aparelhos sejam vendidos, somamos as probabilidades de k=3,4,5:
\Pr(X\ge3) =\;p_X(3)+p_X(4)+p_X(5) =0,3+0,2+0,1 =0,6.

Passo 3

Para a probabilidade de que no máximo 2 aparelhos sejam vendidos, somamos as probabilidades de k=0,1,2:
\Pr(X\le2) =\;p_X(0)+p_X(1)+p_X(2) =0,1+0,1+0,2 =0,4.

Passo 4

O número médio de aparelhos vendidos é a esperança
E[X] =\sum_{k=0}^{5}k\,p_X(k) =0\cdot0,1+1\cdot0,1+2\cdot0,2+3\cdot0,3+4\cdot0,2+5\cdot0,1 =2,7.

Passo 5

Para o desvio padrão, primeiro calculamos
E[X^2] =\sum_{k=0}^{5}k^2\,p_X(k) =0^2\cdot0,1+1^2\cdot0,1+2^2\cdot0,2+3^2\cdot0,3+4^2\cdot0,2+5^2\cdot0,1 =9,3.
A variância é
\mathrm{Var}(X) =E[X^2] - \bigl(E[X]\bigr)^2 =9,3 - (2,7)^2 =9,3 - 7,29 =2,01,
e o desvio padrão
\sigma_X =\sqrt{\mathrm{Var}(X)} =\sqrt{2,01} \approx1,42.

Resposta

a) \Pr(X\ge3)=0,6
b) \Pr(X\le2)=0,4
c) E[X]=2,7 e \sigma_X\approx1,42

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