Exercício 4. Seja X uma variável aleatória com função de probabilidade
p_{X}(k)=\frac{k}{10}, \quad k=1,2,3,4
Obtenha
\mathrm{E}[\log (X)].

Passo 1

O enunciado diz que X é uma variável aleatória discreta com
p_X(k)=\frac{k}{10},\quad k=1,2,3,4,
e pede \mathrm{E}[\log(X)]. O conteúdo é valor esperado de uma função de X: se g(X)=\log(X), então
\mathrm{E}[g(X)] = \sum_{k} g(k)\,p_X(k).

Passo 2

Aplicamos a definição de valor esperado para g(X)=\log(X):
\mathrm{E}[\log(X)] =\sum_{k=1}^{4}\log(k)\,p_X(k).

Passo 3

Substituímos p_X(k)=k/10:
\mathrm{E}[\log(X)] =\sum_{k=1}^{4}\log(k)\,\frac{k}{10} =\frac{1}{10}\sum_{k=1}^{4}k\,\log(k).

Passo 4

Calculamos a soma \sum_{k=1}^{4}k\,\log(k):
1\cdot\log(1)+2\cdot\log(2)+3\cdot\log(3)+4\cdot\log(4).
Como \log(1)=0 e \log(4)=\log(2^2)=2\,\log(2), isso vira
2\log(2)+3\log(3)+4\bigl(2\log(2)\bigr) =2\log(2)+3\log(3)+8\log(2) =10\log(2)+3\log(3).

Passo 5

Logo
\mathrm{E}[\log(X)] =\frac{1}{10}\bigl(10\log(2)+3\log(3)\bigr) =\log(2)+\frac{3}{10}\log(3).

Resposta

\mathrm{E}[\log(X)] =\log(2)+\frac{3}{10}\log(3).

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