Exercício 4. Seja X uma variável aleatória com função de probabilidade
p_{X}(k)=\frac{k}{10}, \quad k=1,2,3,4
Obtenha
D p(X).

Passo 1

O enunciado nos dá uma v.a. discreta X com função de probabilidade
p_X(k)=\frac{k}{10},\quad k=1,2,3,4
e pede a variância D(X). Para isso vamos usar as fórmulas
E(X)=\sum_{k=1}^{4}k\,p_X(k), \qquad E\bigl(X^2\bigr)=\sum_{k=1}^{4}k^2\,p_X(k), \qquad D(X)=E\bigl(X^2\bigr)-\bigl[E(X)\bigr]^2.

Passo 2

Calcular E(X):
E(X) =\sum_{k=1}^{4}k\cdot\frac{k}{10} =\frac{1\cdot1+2\cdot2+3\cdot3+4\cdot4}{10} =\frac{1+4+9+16}{10} =\frac{30}{10} =3.

Passo 3

Calcular E\bigl(X^2\bigr):
E\bigl(X^2\bigr) =\sum_{k=1}^{4}k^2\cdot\frac{k}{10} =\frac{1^2\cdot1+2^2\cdot2+3^2\cdot3+4^2\cdot4}{10} =\frac{1+8+27+64}{10} =\frac{100}{10} =10.

Passo 4

Aplicar a definição de variância:
D(X) =E\bigl(X^2\bigr)-\bigl[E(X)\bigr]^2 =10-3^2 =10-9 =1.

Resposta

D(X)=1

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