Exercício 2 - Um longo fio cilíndrico de raio R conduz uma corrente de I uniformemente distribuída por sua seção transversal. Encontre a energia magnética por unidade de comprimento (a) dentro do fio, e (b) total (ou seja, dentro e fora do fio).

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e os dados que temos.
  • Dados do problema:
    • Um fio cilíndrico longo de raio R.
    • Conduz uma corrente total I uniformemente distribuída sobre a seção transversal do fio (ou seja, densidade de corrente constante dentro do raio R).
  • O que o enunciado pergunta:
    • (a) Encontrar a energia magnética por unidade de comprimento contida dentro do fio (isto é, para 0\le r\le R).
    • (b) Encontrar a energia magnética por unidade de comprimento total (dentro e fora do fio, isto é, para 0\le r<\infty).

Passo 2

Conceitos e fórmula que vamos usar (explicação didática e passo a passo).
  • Energia magnética é armazenada no campo magnético. A densidade de energia magnética (energia por volume) no vácuo é dada por
u(r)=\frac{B^2(r)}{2\mu_0},
onde \mu_0 é a permeabilidade do vácuo e B(r) é o módulo do campo magnético no ponto a uma distância radial r do eixo do fio.
  • Para obter a energia por unidade de comprimento do fio, integramos essa densidade sobre a área da seção transversal (porque por unidade de comprimento o elemento de volume é dV = dA \cdot 1), ou seja
U'=\int_{0}^{\infty} u(r)\,2\pi r\,dr = \int_{0}^{\infty}\frac{B^2(r)}{2\mu_0}\,2\pi r\,dr.
Aqui 2\pi r\,dr é o elemento de área em coordenadas cilíndricas.
  • Precisamos da expressão de B(r). Usamos a Lei de Ampère (forma integral): para um percurso circular concêntrico de raio r,
\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=B(r)\,2\pi r=\mu_0 I_{\text{enc}}(r),
onde I_{\text{enc}}(r) é a corrente encoberta pelo caminho (corrente dentro do raio r). Pela simetria, \mathbf{B} é tangencial (circunferencial) e depende apenas de r.

Passo 3

Calcular a densidade de corrente e o campo magnético dentro e fora do fio.
  • Densidade de corrente (uniforme) dentro do fio:
J=\frac{I}{\pi R^2}.
  • Corrente encoberta por um círculo de raio r\le R:
I_{\text{enc}}(r)=J\cdot \pi r^2 = \frac{I}{\pi R^2}\cdot \pi r^2 = I\frac{r^2}{R^2}.
  • Aplicando Ampère para r\le R:
B(r)\,2\pi r=\mu_0 I_{\text{enc}}(r)=\mu_0 I\frac{r^2}{R^2},
portanto, para r\le R,
B(r)=\frac{\mu_0 I}{2\pi R^2}\,r.
  • Para r\ge R toda a corrente I está dentro do raio r, então
B(r)\,2\pi r=\mu_0 I \quad\Rightarrow\quad B(r)=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\qquad (r\ge R).

Passo 4

Escrever a integral da energia por unidade de comprimento e separar as regiões interna e externa.
  • A energia por unidade de comprimento é
U'=\int_{0}^{\infty}\frac{B^2(r)}{2\mu_0}\,2\pi r\,dr.
  • Vamos separar a integral em duas partes: dentro do fio ( 0\le r\le R) e fora do fio ( R\le r<\infty):
U' = U'_{\text{dentro}} + U'_{\text{fora}},
onde
U'_{\text{dentro}}=\int_{0}^{R}\frac{B^2(r)}{2\mu_0}\,2\pi r\,dr, \qquad U'_{\text{fora}}=\int_{R}^{\infty}\frac{B^2(r)}{2\mu_0}\,2\pi r\,dr.

Passo 5

Calcular a contribuição interna U'_{\text{dentro}} passo a passo.
  • Para 0\le r\le R usamos B(r)=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi R^2}\,r. Então
B^2(r)=\left(\frac{\mu_0 I}{2\pi R^2}\right)^2 r^2 = \frac{\mu_0^2 I^2}{4\pi^2 R^4}\,r^2.
  • A densidade de energia é
\frac{B^2(r)}{2\mu_0} = \frac{1}{2\mu_0}\cdot\frac{\mu_0^2 I^2}{4\pi^2 R^4}\,r^2 = \frac{\mu_0 I^2}{8\pi^2 R^4}\,r^2.
  • Multiplicando pelo elemento de área 2\pi r\,dr obtemos o integrando:
\frac{B^2(r)}{2\mu_0}\,2\pi r\,dr = \frac{\mu_0 I^2}{8\pi^2 R^4}\,r^2\cdot 2\pi r\,dr = \frac{\mu_0 I^2}{4\pi R^4}\,r^3\,dr.
  • Integrando de 0 a R:
U'_{\text{dentro}}=\int_{0}^{R}\frac{\mu_0 I^2}{4\pi R^4}\,r^3\,dr = \frac{\mu_0 I^2}{4\pi R^4}\cdot\left[\frac{r^4}{4}\right]_{0}^{R} = \frac{\mu_0 I^2}{4\pi R^4}\cdot\frac{R^4}{4} = \frac{\mu_0 I^2}{16\pi}.

Passo 6

Calcular a contribuição externa U'_{\text{fora}} e examinar convergência.
  • Para r\ge R usamos B(r)=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}. Então
B^2(r)=\frac{\mu_0^2 I^2}{4\pi^2 r^2}.
  • A densidade de energia é
\frac{B^2(r)}{2\mu_0} = \frac{1}{2\mu_0}\cdot\frac{\mu_0^2 I^2}{4\pi^2 r^2} = \frac{\mu_0 I^2}{8\pi^2 r^2}.
  • Multiplicando pelo elemento de área 2\pi r\,dr:
\frac{B^2(r)}{2\mu_0}\,2\pi r\,dr = \frac{\mu_0 I^2}{8\pi^2 r^2}\cdot 2\pi r\,dr = \frac{\mu_0 I^2}{4\pi}\,\frac{dr}{r}.
  • Assim
U'_{\text{fora}} = \int_{R}^{\infty}\frac{\mu_0 I^2}{4\pi}\,\frac{dr}{r} = \frac{\mu_0 I^2}{4\pi}\int_{R}^{\infty}\frac{dr}{r}.
  • A integral \int_{R}^{\infty}\dfrac{dr}{r} diverge (logaritmo para infinito). Portanto U'_{\text{fora}} é divergente e, consequentemente, a energia magnética por unidade de comprimento total é infinita — isto é, a integral sobre todo o espaço exterior não converge.
  • Observação prática: em problemas reais há sempre um corte externo (por exemplo outro condutor, retorno de corrente, ou considerar energia até uma distância L finita). Se introduzirmos um raio externo de corte L (com L>R), então
U'_{\text{fora}}(L)=\frac{\mu_0 I^2}{4\pi}\int_{R}^{L}\frac{dr}{r}=\frac{\mu_0 I^2}{4\pi}\ln\!\left(\frac{L}{R}\right).
Então, com esse corte, a energia por unidade de comprimento total até L é
U'(L)=U'_{\text{dentro}}+U'_{\text{fora}}(L)=\frac{\mu_0 I^2}{16\pi}+\frac{\mu_0 I^2}{4\pi}\ln\!\left(\frac{L}{R}\right).

Passo 7

Interpretação física curta e incentivo.
  • Resultado físico: a contribuição interna é finita e igual a \dfrac{\mu_0 I^2}{16\pi}. A contribuição do campo long-range fora do fio decai como 1/r, o que faz com que a energia por unidade de comprimento diverja logarithmicamente se integremos até r\to\infty. Na prática, sistemas têm alguma escala externa que faz aparecer um logaritmo \ln(L/R).
  • Você está indo bem — a parte técnica principal é aplicar Ampère para achar B(r) e depois integrar a densidade B^2/(2\mu_0). Se a prova pedir “total” sem mencionar corte, a resposta correta é apontar que diverge (infinito) e, se pedirem, mostrar a forma com corte logarithmico.

Resposta

(a) U'_{\text{dentro}}=\dfrac{\mu_0 I^2}{16\pi}
(b) U'_{\text{total}}=\infty (diverge).
Alternativamente, com um corte externo em r=L: U'(L)=\dfrac{\mu_0 I^2}{16\pi}+\dfrac{\mu_0 I^2}{4\pi}\ln\!\left(\dfrac{L}{R}\right).

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