Exercício 2 - Um longo fio cilíndrico de raio
conduz uma corrente de
uniformemente distribuída por sua seção transversal. Encontre a energia magnética por unidade de comprimento (a) dentro do fio, e (b) total (ou seja, dentro e fora do fio).
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e os dados que temos.
- Dados do problema:
- Um fio cilíndrico longo de raio
. - Conduz uma corrente total
uniformemente distribuída sobre a seção transversal do fio (ou seja, densidade de corrente constante dentro do raio ).
- Um fio cilíndrico longo de raio
- O que o enunciado pergunta:
- (a) Encontrar a energia magnética por unidade de comprimento contida dentro do fio (isto é, para
). - (b) Encontrar a energia magnética por unidade de comprimento total (dentro e fora do fio, isto é, para
).
- (a) Encontrar a energia magnética por unidade de comprimento contida dentro do fio (isto é, para
Passo 2
Conceitos e fórmula que vamos usar (explicação didática e passo a passo).
- Energia magnética é armazenada no campo magnético. A densidade de energia magnética (energia por volume) no vácuo é dada por
onde
é a permeabilidade do vácuo e
é o módulo do campo magnético no ponto a uma distância radial
do eixo do fio.
- Para obter a energia por unidade de comprimento do fio, integramos essa densidade sobre a área da seção transversal (porque por unidade de comprimento o elemento de volume é
), ou seja
Aqui
é o elemento de área em coordenadas cilíndricas.
- Precisamos da expressão de
. Usamos a Lei de Ampère (forma integral): para um percurso circular concêntrico de raio ,
onde
é a corrente encoberta pelo caminho (corrente dentro do raio
). Pela simetria,
é tangencial (circunferencial) e depende apenas de
.
Passo 3
Calcular a densidade de corrente e o campo magnético dentro e fora do fio.
- Densidade de corrente (uniforme) dentro do fio:
- Corrente encoberta por um círculo de raio
:
- Aplicando Ampère para
:
portanto, para
,
- Para
toda a corrente está dentro do raio , então
Passo 4
Escrever a integral da energia por unidade de comprimento e separar as regiões interna e externa.
- A energia por unidade de comprimento é
- Vamos separar a integral em duas partes: dentro do fio (
) e fora do fio ( ):
onde
Passo 5
Calcular a contribuição interna
passo a passo.
- Para
usamos . Então
- A densidade de energia é
- Multiplicando pelo elemento de área
obtemos o integrando:
- Integrando de
a :
Passo 6
Calcular a contribuição externa
e examinar convergência.
- Para
usamos . Então
- A densidade de energia é
- Multiplicando pelo elemento de área
:
- Assim
- A integral
diverge (logaritmo para infinito). Portanto é divergente e, consequentemente, a energia magnética por unidade de comprimento total é infinita — isto é, a integral sobre todo o espaço exterior não converge. - Observação prática: em problemas reais há sempre um corte externo (por exemplo outro condutor, retorno de corrente, ou considerar energia até uma distância
finita). Se introduzirmos um raio externo de corte (com ), então
Então, com esse corte, a energia por unidade de comprimento total até
é
Passo 7
Interpretação física curta e incentivo.
- Resultado físico: a contribuição interna é finita e igual a
. A contribuição do campo long-range fora do fio decai como , o que faz com que a energia por unidade de comprimento diverja logarithmicamente se integremos até . Na prática, sistemas têm alguma escala externa que faz aparecer um logaritmo . - Você está indo bem — a parte técnica principal é aplicar Ampère para achar
e depois integrar a densidade . Se a prova pedir “total” sem mencionar corte, a resposta correta é apontar que diverge (infinito) e, se pedirem, mostrar a forma com corte logarithmico.
Resposta
(a)
(b)
(diverge).
Alternativamente, com um corte externo em :
.
Alternativamente, com um corte externo em