14-Calcule a Integral de linha fechada \oint_{\alpha} \vec{E} \cdot d \vec{\alpha} para o campo elétrico de Coulomb
\vec{E}(\vec{r})=k \frac{q \vec{r}}{\|\vec{r}\|^{3}}, \quad \vec{r}=(x, y, z), \vec{r} \neq \overrightarrow{0}
ao longo de uma elipse fechada, contida no plano z=0, com centro na origem, semi-eixo a ao longo do eixo x e semi-eixo b ao longo do eixo y, percorrida uma vez no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico de Coulomb
\vec{E}(\vec{r})=k\frac{q\vec{r}}{\|\vec{r}\|^{3}},\qquad \vec{r}=(x,y,z),\\ \vec{r}\neq\vec{0},
e pede a integral de linha fechada
\oint_{\alpha}\vec{E}\cdot d\vec{\alpha}
onde \alpha é a elipse fechada contida no plano z=0, com centro na origem, semi-eixo a ao longo de x e semi-eixo b ao longo de y, percorrida uma vez no sentido anti-horário.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O caminho \alpha está em z=0 e é fechado, centrado na origem, portanto circunda a origem mas não passa por ela (supondo a>0 e b>0); logo para todo ponto da curva \vec{r}\neq\vec{0} e o campo está bem definido sobre a curva.
  • O objetivo é o valor numérico da integral de linha fechada do campo \vec{E} sobre essa curva.

Passo 2

Ideia principal a usar (explicação didática): se um campo vetorial \vec{F} é gradiente de algum potencial escalar \varphi num domínio que contém a curva, então a integral de linha entre dois pontos é \varphi(\text{fim})-\varphi(\text{início})í (teorema fundamental para gradientes). Para uma curva fechada isso dá zero porque início = fim. Portanto devemos verificar se existe um potencial \varphi tal que \nabla\varphi=\vec{E} no domínio onde a curva está contida.
Vou mostrar que existe um potencial escalar \varphi definido em \mathbb{R}^3\setminus\{\vec{0}\} tal que \nabla\varphi=\vec{E}. Esse domínio contém a elipse (já que a elipse não passa por \vec{0}), então poderemos aplicar o teorema das integrais de gradiente.

Passo 3

Cálculo do potencial e verificação (aula curta sobre derivadas parciais e gradiente).
Considere a função escalar
\varphi(\vec{r})=-k\frac{q}{\|\vec{r}\|}=-k\frac{q}{r},\qquad r=\|\vec{r}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Vou calcular o gradiente de \varphi. Primeiro veja a derivada parcial de r e de 1/r:
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{r}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\big((x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1/2}\big) =-\tfrac{1}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-3/2}\cdot 2x =-\frac{x}{r^{3}}.
Analogamente,
\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{r}\right)=-\frac{y}{r^{3}},\qquad \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{1}{r}\right)=-\frac{z}{r^{3}}.
Portanto
\nabla\left(\frac{1}{r}\right)=-\frac{\vec{r}}{r^{3}}.
Multiplicando por -kq obtemos
\nabla\varphi=\nabla\left(-k\frac{q}{r}\right)=-kq\,\nabla\left(\frac{1}{r}\right)= -kq\left(-\frac{\vec{r}}{r^{3}}\right)=k\frac{q\vec{r}}{r^{3}}=\vec{E}(\vec{r}).
Conclusão desta etapa: \vec{E}=\nabla\varphi com \varphi(\vec{r})=-kq/r válida em todo \mathbb{R}^{3}\setminus\{\vec{0}\}.

Passo 4

Aplicação do teorema fundamental para gradientes (explicação didática e condição de domínio).
O teorema diz que, para uma curva orientada \gamma com extremos A e B,
\int_{\gamma}\nabla\varphi\cdot d\vec{\ell}=\varphi(B)-\varphi(A).
No caso de uma curva fechada (início = fim), a diferença \varphi(B)-\varphi(A) é zero. Aqui a curva \alpha é fechada e está contida em \mathbb{R}^{3}\setminus\{\vec{0}\}, onde \varphi é bem definida e diferenciável. Logo
\oint_{\alpha}\vec{E}\cdot d\vec{\alpha}=\oint_{\alpha}\nabla\varphi\cdot d\vec{\alpha}=0.

Passo 5

Checagem alternativa por parametrização (opção prática para a prova — mostro como fazer se alguém preferir calcular diretamente).
Parametrização da elipse (no plano z=0) no sentido anti-horário:
\vec{\alpha}(t)=(a\cos t,\; b\sin t,\; 0),\qquad t\in[0,2\pi].
Então
d\vec{\alpha}=( -a\sin t,\; b\cos t,\;0)\,dt, \qquad \vec{r}(t)=\vec{\alpha}(t).
O integrando é
\vec{E}(\vec{r}(t))\cdot d\vec{\alpha} =kq\frac{\vec{r}(t)\cdot d\vec{\alpha}}{\|\vec{r}(t)\|^{3}}.
Note que
\vec{r}(t)\cdot d\vec{\alpha}=\big(a\cos t\big)(-a\sin t)\,dt+\big(b\sin t\big)(b\cos t)\,dt =-(a^{2}\cos t\sin t)\,dt+(b^{2}\sin t\cos t)\,dt =(b^{2}-a^{2})\sin t\cos t\,dt.
Outra observação útil (mais geral) é que \vec{r}\cdot d\vec{r}=\tfrac{1}{2}d(\|\vec{r}\|^{2}). Assim o integrando fica proporcional a uma derivada total de uma função periódica; integrando num período completo dá zero. Seguindo qualquer uma das duas vias (o cálculo explícito acima leva a uma função periódica cujo integral em [0,2\pi] é zero), conclui-se que a integral é 0. Esta verificação por parametrização confirma o resultado do passo anterior.

Passo 6

Comentário final e incentivo.
Então, apesar da elipse rodear a origem, o campo de Coulomb em \mathbb{R}^{3}\setminus\{\vec{0}\} é gradiente de um potencial escalar bem definido, e a integral sobre qualquer curva fechada que não passe pela singularidade é zero. Bom trabalho — você já pode usar essa ideia nas questões da prova que envolvem campos centrais!

Resposta

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