14-Calcule a Integral de linha fechada
para o campo elétrico de Coulomb
ao longo de uma elipse fechada, contida no plano
, com centro na origem, semi-eixo
ao longo do eixo
e semi-eixo
ao longo do eixo
, percorrida uma vez no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado dá o campo elétrico de Coulomb
e pede a integral de linha fechada
onde
é a elipse fechada contida no plano
, com centro na origem, semi-eixo
ao longo de
e semi-eixo
ao longo de
, percorrida uma vez no sentido anti-horário.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O caminho
está em e é fechado, centrado na origem, portanto circunda a origem mas não passa por ela (supondo e ); logo para todo ponto da curva e o campo está bem definido sobre a curva. - O objetivo é o valor numérico da integral de linha fechada do campo
sobre essa curva.
Passo 2
Ideia principal a usar (explicação didática): se um campo vetorial
é gradiente de algum potencial escalar
num domínio que contém a curva, então a integral de linha entre dois pontos é
(teorema fundamental para gradientes). Para uma curva fechada isso dá zero porque início = fim. Portanto devemos verificar se existe um potencial
tal que
no domínio onde a curva está contida.
Vou mostrar que existe um potencial escalar
definido em
tal que
. Esse domínio contém a elipse (já que a elipse não passa por
), então poderemos aplicar o teorema das integrais de gradiente.
Passo 3
Cálculo do potencial e verificação (aula curta sobre derivadas parciais e gradiente).
Considere a função escalar
Vou calcular o gradiente de
. Primeiro veja a derivada parcial de
e de
:
Analogamente,
Portanto
Multiplicando por
obtemos
Conclusão desta etapa:
com
válida em todo
.
Passo 4
Aplicação do teorema fundamental para gradientes (explicação didática e condição de domínio).
O teorema diz que, para uma curva orientada
com extremos
e
,
No caso de uma curva fechada (início = fim), a diferença
é zero. Aqui a curva
é fechada e está contida em
, onde
é bem definida e diferenciável. Logo
Passo 5
Checagem alternativa por parametrização (opção prática para a prova — mostro como fazer se alguém preferir calcular diretamente).
Parametrização da elipse (no plano
) no sentido anti-horário:
Então
O integrando é
Note que
Outra observação útil (mais geral) é que
. Assim o integrando fica proporcional a uma derivada total de uma função periódica; integrando num período completo dá zero. Seguindo qualquer uma das duas vias (o cálculo explícito acima leva a uma função periódica cujo integral em
é zero), conclui-se que a integral é
. Esta verificação por parametrização confirma o resultado do passo anterior.
Passo 6
Comentário final e incentivo.
Então, apesar da elipse rodear a origem, o campo de Coulomb em
é gradiente de um potencial escalar bem definido, e a integral sobre qualquer curva fechada que não passe pela singularidade é zero. Bom trabalho — você já pode usar essa ideia nas questões da prova que envolvem campos centrais!
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