Exercício 17. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo-y, da região limitada por:
\operatorname{Eixo}-x, x=1, x=p(p>1) e x y=1

Passo 1

O enunciado dá a região limitada por quatro curvas/retas:
  • o Eixo-x, isto é y=0;
  • a reta vertical x=1;
  • a reta vertical x=p com p>1;
  • a hipérbole x y = 1, isto é y=\dfrac{1}{x}.
O que é pedido: calcular o volume do sólido obtido ao girar essa região em torno do eixo- y.

Passo 2

Vamos escolher um método para calcular o volume. O enunciado não exige um método específico. Para rotação em torno do eixo- y com a região dada por limites em x (de x=1 a x=p), o método das cascas cilíndricas (shells) é o mais direto: ele usa tiras verticais (variando x), dá uma integral simples e evita ter que inverter a função y=1/x. Vou usar esse método porque gera uma integral elementar e fácil de calcular. (Outra opção seria o método dos discos/anéis, mas aí seria necessário expressar os limites em função de y e tratar intervalos diferentes — mais trabalhoso.)

Passo 3

Explicação didática do método das cascas cilíndricas:
  • Pegamos uma tira vertical em abscissa x de espessura dx. Ao girar essa tira em torno do eixo- y forma-se uma casca cilíndrica.
  • A casca tem raio igual à distância da tira ao eixo- y, ou seja o raio é x.
  • A altura da casca é a diferença entre a curva superior e a inferior na tira. Aqui a curva superior é y=\dfrac{1}{x} e a inferior é y=0, logo a altura é \dfrac{1}{x}-0=\dfrac{1}{x}.
  • A área lateral aproximada da casca é 2\pi \cdot (\text{raio}) \cdot (\text{altura}).
  • Multiplicando pela espessura dx obtemos o volume elemento:
dV = 2\pi \cdot (\text{raio}) \cdot (\text{altura}) \cdot dx.

Passo 4

Aplicando as expressões do passo anterior à nossa região:
  • raio =x,
  • altura =\dfrac{1}{x}.
Logo
dV = 2\pi \cdot x \cdot \frac{1}{x}\,dx = 2\pi\,dx.
Observe que x cancela, o que mostra por que o método é muito conveniente aqui.

Passo 5

Agora integremos os elementos dV para x indo de 1 até p:
V=\int_{x=1}^{x=p} dV = \int_{1}^{p} 2\pi\,dx.
Calcule a integral:
V = 2\pi\bigl[x\bigr]_{1}^{p} = 2\pi (p-1).

Passo 6

Interpretação final rápida e checagem mental: a integral saiu constante porque cada casca tem volume elementar igual a 2\pi\,dx; integrar dá simplesmente 2\pi vezes a largura total em x, que é p-1. Faz sentido dimensionalmente e é coerente com o raciocínio geométrico.

Resposta

V = 2\pi (p-1)

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