Exercício 17. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo-y, da região limitada por:
e
Passo 1
O enunciado dá a região limitada por quatro curvas/retas:
- o Eixo-x, isto é
; - a reta vertical
; - a reta vertical
com ; - a hipérbole
, isto é .
O que é pedido: calcular o volume do sólido obtido ao girar essa região em torno do eixo-
.
Passo 2
Vamos escolher um método para calcular o volume. O enunciado não exige um método específico. Para rotação em torno do eixo-
com a região dada por limites em
(de
a
), o método das cascas cilíndricas (shells) é o mais direto: ele usa tiras verticais (variando
), dá uma integral simples e evita ter que inverter a função
. Vou usar esse método porque gera uma integral elementar e fácil de calcular. (Outra opção seria o método dos discos/anéis, mas aí seria necessário expressar os limites em função de
e tratar intervalos diferentes — mais trabalhoso.)
Passo 3
Explicação didática do método das cascas cilíndricas:
- Pegamos uma tira vertical em abscissa
de espessura . Ao girar essa tira em torno do eixo- forma-se uma casca cilíndrica. - A casca tem raio igual à distância da tira ao eixo-
, ou seja o raio é . - A altura da casca é a diferença entre a curva superior e a inferior na tira. Aqui a curva superior é
e a inferior é , logo a altura é . - A área lateral aproximada da casca é
. - Multiplicando pela espessura
obtemos o volume elemento:
Passo 4
Aplicando as expressões do passo anterior à nossa região:
- raio
, - altura
.
Logo
Observe que
cancela, o que mostra por que o método é muito conveniente aqui.
Passo 5
Agora integremos os elementos
para
indo de
até
:
Calcule a integral:
Passo 6
Interpretação final rápida e checagem mental: a integral saiu constante porque cada casca tem volume elementar igual a
; integrar dá simplesmente
vezes a largura total em
, que é
. Faz sentido dimensionalmente e é coerente com o raciocínio geométrico.