Exercício 9.7 A luz solar leva 8 min para viajar do Sol para a Terra, e tem uma intensidade média de 1.400 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}. Se ela leva 44 min para viajar do Sol para Júpiter, qual é a intensidade da luz solar em Júpiter?

Passo 1

O enunciado dá as informações abaixo e pede uma única coisa:
  • Tempo que a luz leva do Sol até a Terra: \,8\\ \text{min}.
  • Intensidade média da luz solar na Terra: \,1400\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
  • Tempo que a luz leva do Sol até Júpiter: \,44\\ \text{min}.
Pergunta: qual é a intensidade da luz solar em Júpiter?

Passo 2

Relação entre tempo de viagem da luz e distância: a luz viaja a velocidade constante c. Então a distância entre o Sol e um planeta é o produto da velocidade da luz pelo tempo que a luz leva:
r = c\,t
Aqui r é a distância Sol–planeta, c é a velocidade da luz e t é o tempo de viagem. Assim, para Terra e Júpiter temos
r_{\text{Terra}} = c\,t_{\text{Terra}},\qquad r_{\text{Júpiter}} = c\,t_{\text{Júpiter}}.úú
Dividindo, a constante c cancela, então as distâncias são proporcionais aos tempos:
\frac{r_{\text{Júpiter}}}{r_{\text{Terra}}}=\frac{t_{\text{Júpiter}}}{t_{\text{Terra}}}.úú
Ou seja, podemos usar a razão dos tempos para obter a razão das distâncias sem precisar do valor numérico de c.

Passo 3

Explicação do princípio físico que usamos (lei do inverso do quadrado): se uma fonte puntual (o Sol, aproximando) emite potência total P isotropicamente, a potência por unidade de área (intensidade) a uma distância r é a potência dividida pela área da superfície de uma esfera de raio r:
I=\frac{P}{4\pi r^{2}}.
Aqui I é a intensidade (em \mathrm{W}/\mathrm{m}^2), P é a potência total emitida pelo Sol (em \mathrm{W}) e r é a distância ao Sol (em \mathrm{m}). A consequência prática importante: a intensidade varia como 1/r^2. Portanto, para dois pontos a distâncias r_1 e r_2 temos
\frac{I_2}{I_1}=\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^{2}.
Pequeno exemplo para entender: se você dobrar a distância ( r_2=2r_1), a intensidade cai para (1/2)^2=1/4 do valor original.

Passo 4

Aplicando isso ao problema: queremos I_{\text{Júpiter}}ú sabendo I_{\text{Terra}}=\;1400\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2. Usando a relação de tempos para trocar razões de r por razões de t obtemos
\frac{I_{\text{Júpiter}}}{I_{\text{Terra}}}=\left(\frac{r_{\text{Terra}}}{r_{\text{Júpiter}}}\right)^{2}=\left(\frac{t_{\text{Terra}}}{t_{\text{Júpiter}}}\right)^{2}.úúú
Agora substituímos os tempos \,t_{\text{Terra}}=\;8\\ \text{min} e \,t_{\text{Júpiter}}=\;44\\ \text{min}ú:
I_{\text{Júpiter}} = I_{\text{Terra}}\left(\frac{8}{44}\right)^{2}.ú
Calcule passo a passo a fração:
\left(\frac{8}{44}\right)^{2}=\frac{64}{1936}.
Simplificando a fração \dfrac{64}{1936}: dividindo numerador e denominador por 4 obtemos \dfrac{16}{484}, dividindo por 4 novamente obtemos \dfrac{4}{121}. Portanto
I_{\text{Júpiter}} = 1400\cdot\frac{4}{121}.ú
Multiplicando e dividindo:
1400\cdot 4 = 5600,
I_{\text{Júpiter}} = \frac{5600}{121}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.ú
Fazendo a divisão para obter aproximado decimal:
\frac{5600}{121}\approx 46{,}28\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.

Passo 5

Interpretação rápida e incentivo: a intensidade em Júpiter é muito menor que na Terra (cerca de 30 vezes menor), porque Júpiter está bem mais longe do Sol. Isso afeta quanto aquecimento e luz chegam lá — por isso Júpiter é frio em comparação com a Terra. Bora anotar essa técnica: quando a distância muda, use a lei do inverso do quadrado; se a mudança de distância for dada por tempos de viagem da luz, troque por razão de tempos.

Resposta

\dfrac{5600}{121}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2 \approx 46{,}28\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2

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