Exercício 9.6 Similar à percepção de ruído quando escutamos, o brilho para o olho humano é a percepção da luz pelo cérebro é logarítmica em vez de linear. Por exemplo, você não percebe que a luz tem uma intensidade
como sendo duas vezes mais brilhante que uma luz de intensidade
. O que acontece para a percepção de brilho de uma lâmpada de luz se você dobrar a distância em relação a ela?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o seguinte:
- Informação: a percepção do brilho pelo olho é logarítmica em relação à intensidade física da luz; isto é, a sensação de brilho cresce como o logaritmo da intensidade luminosa.
- Informação (exemplo do enunciado): você não percebe uma luz de intensidade
como duas vezes mais brilhante que uma de intensidade — ou seja, percepção não é proporcional à intensidade. - Pergunta: o que acontece com a percepção do brilho de uma lâmpada se você dobrar a distância em relação a ela?
Passo 2
Primeiro precisamos relacionar a intensidade física da luz com a distância. Vamos definir as variáveis:
-
= distância da lâmpada até o observador. -
= intensidade (fluxo por unidade de área) da luz na distância .
Por razões geométricas (a luz emitida pela lâmpada se espalha sobre a superfície de uma esfera de área
), a intensidade decai com o quadrado da distância. Escrevemos isso assim:
Isto significa que, se você dobrar a distância (passar de
para
), a intensidade na nova posição é
Portanto, fisicamente a intensidade fica quatro vezes menor ao dobrar a distância.
Passo 3
Agora vamos traduzir essa mudança de intensidade para percepção logarítmica. Modelemos a percepção por uma função do tipo
onde:
-
é a percepção do brilho (uma medida subjetiva), -
é uma constante de escala (pode depender da unidade do logaritmo), -
é uma constante de referência (irrelevante para diferenças), -
pode ser qualquer base (base , base , etc.); mudar a base só troca o valor de , então relações relativas permanecem.
Se a intensidade muda de
para
(ou seja, um fator
), a variação da percepção é
Passo 4
Aplicando ao nosso caso: ao dobrar a distância temos
. Logo
Isto diz que a percepção diminui por uma quantidade fixa (aditiva) igual a
. A expressão é independente da escolha da base do log, desde que interpretada com o
correspondente.
Passo 5
Vamos dar números para intuir: se tomarmos
,
- com logaritmo natural:
- com logaritmo decimal:
Esses números são unidades de “percepção” na escala escolhida: eles significam que dobrar a distância torna a lâmpada perceptivelmente menos brilhante, pela quantidade acima, correspondente a a intensidade física sendo quatro vezes menor.
Passo 6
Interpretação prática e intuição final: dobrar a distância reduz a intensidade para um quarto; devido à percepção logarítmica, isso aparece ao olho como uma diminuição de brilho igual a
(ou seja,
). Não é percebido como “metade” do brilho, mas como uma queda fixa na escala logarítmica equivalente a uma queda de intensidade em fator
.
Resposta
Exemplos: com