Exercício 9.6 Similar à percepção de ruído quando escutamos, o brilho para o olho humano é a percepção da luz pelo cérebro é logarítmica em vez de linear. Por exemplo, você não percebe que a luz tem uma intensidade S como sendo duas vezes mais brilhante que uma luz de intensidade S / 2. O que acontece para a percepção de brilho de uma lâmpada de luz se você dobrar a distância em relação a ela?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o seguinte:
  • Informação: a percepção do brilho pelo olho é logarítmica em relação à intensidade física da luz; isto é, a sensação de brilho cresce como o logaritmo da intensidade luminosa.
  • Informação (exemplo do enunciado): você não percebe uma luz de intensidade S como duas vezes mais brilhante que uma de intensidade S/2 — ou seja, percepção não é proporcional à intensidade.
  • Pergunta: o que acontece com a percepção do brilho de uma lâmpada se você dobrar a distância em relação a ela?

Passo 2

Primeiro precisamos relacionar a intensidade física da luz com a distância. Vamos definir as variáveis:
  • r = distância da lâmpada até o observador.
  • S(r) = intensidade (fluxo por unidade de área) da luz na distância r.
Por razões geométricas (a luz emitida pela lâmpada se espalha sobre a superfície de uma esfera de área 4\pi r^{2}), a intensidade decai com o quadrado da distância. Escrevemos isso assim:
S(r)\propto\frac{1}{r^{2}}.
Isto significa que, se você dobrar a distância (passar de r para 2r), a intensidade na nova posição é
S(2r)=\frac{S(r)}{(2)^{2}}=\frac{S(r)}{4}.
Portanto, fisicamente a intensidade fica quatro vezes menor ao dobrar a distância.

Passo 3

Agora vamos traduzir essa mudança de intensidade para percepção logarítmica. Modelemos a percepção por uma função do tipo
P(S)=k\log(S)+C,
onde:
  • P(S) é a percepção do brilho (uma medida subjetiva),
  • k é uma constante de escala (pode depender da unidade do logaritmo),
  • C é uma constante de referência (irrelevante para diferenças),
  • \log pode ser qualquer base (base 10, base e, etc.); mudar a base só troca o valor de k, então relações relativas permanecem.
Se a intensidade muda de S_{1} para S_{2}=aS_{1} (ou seja, um fator a), a variação da percepção é
\Delta P = P(S_{2})-P(S_{1}) = k\log(S_{2})-k\log(S_{1})=k\log\!\bigl(a\bigr).

Passo 4

Aplicando ao nosso caso: ao dobrar a distância temos a=\tfrac{1}{4}. Logo
\Delta P = k\log\!\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr)=k\bigl(\log(1)-\log(4)\bigr) = -k\log(4) = -2k\log(2).
Isto diz que a percepção diminui por uma quantidade fixa (aditiva) igual a -k\log(4). A expressão é independente da escolha da base do log, desde que interpretada com o k correspondente.

Passo 5

Vamos dar números para intuir: se tomarmos k=1,
  • com logaritmo natural:
\Delta P = -\ln(4)\approx -1{,}386,
  • com logaritmo decimal:
\Delta P = -\log_{10}(4)\approx -0{,}602.
Esses números são unidades de “percepção” na escala escolhida: eles significam que dobrar a distância torna a lâmpada perceptivelmente menos brilhante, pela quantidade acima, correspondente a a intensidade física sendo quatro vezes menor.

Passo 6

Interpretação prática e intuição final: dobrar a distância reduz a intensidade para um quarto; devido à percepção logarítmica, isso aparece ao olho como uma diminuição de brilho igual a k\log(1/4) (ou seja, -2k\log 2). Não é percebido como “metade” do brilho, mas como uma queda fixa na escala logarítmica equivalente a uma queda de intensidade em fator 4.

Resposta

\Delta P = k\log\!\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr) = -2k\log 2.
Exemplos: com k=1, \Delta P=-\ln 4\approx -1{,}386 (base e) ou \Delta P=-\log_{10}4\approx -0{,}602 (base 10).

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