Exercício
(
pontos): A função vetorial
dada a seguir é contínua em todo
.
a)
Determine os valores de
e
.
b)
Determine para quais valores de
a função
é diferenciável.
b)
Passo 1
O enunciado fornece a função vetorial
As perguntas são:
- (a) Determine os valores de
de modo que
seja contínua (em particular em ). - (b) Determine para quais valores de
a função é diferenciável.
Informações relevantes dadas no enunciado:
- A primeira componente para
é . - A segunda componente para
é a função racional . - A função está definida em todo
com valor especial em .
A resolução começa agora.]
Passo 2
Condição de continuidade em
.
Para que seja contínua em
é necessário e suficiente que cada componente tenha limite quando
e que esses limites coincidam com
e
respectivamente. Ou seja:
Para que
Vou calcular cada um desses limites.
Passo 3
Cálculo de
.
A função é contínua em todo
. Portanto
A função
Isso já dá o valor de
.
Passo 4
Cálculo de
.
Precisamos do limite
Precisamos do limite
Primeiro verifico o valor do numerador em
:
Como o denominador em
também é zero (
), temos uma forma
e podemos tentar simplificar cancelando o fator
. Vou fatorar o numerador por divisão polinomial (dividindo por
).
Faço a divisão sintética de
por
:
- Coeficientes:
. - Usando
na divisão sintética obtemos quociente com coeficientes e resto .
Portanto existe um polinômio
tal que
Assim, para
,
Agora o limite quando
é simplesmente
. Calculo
:
Portanto
Passo 5
Resumo da parte (a).
Escolhendo
Escolhendo
a função
fica contínua em
(os limites das componentes existem e coincidem com os valores dados em
).
Passo 6
Condição de diferenciabilidade (introdução didática).
Uma função vetorial é diferenciável em um ponto
se e somente se cada componente
e
for diferenciável em
. Para uma função escalar
, a diferenciabilidade em
significa que existe o limite (derivada)
Uma função vetorial
isto é, o quociente incremental tem limite finito. Vou analisar cada componente separadamente.
Passo 7
Análise da primeira componente
.
- Para
podemos usar a regra de derivação das potências: se com , então . Aplicando para obtemos, para ,
Isso é um número finito sempre que
. Logo
é diferenciável em todo
.
- Em
a derivada não existe: podemos ver pelo quociente incremental
que tende a
quando
e a
quando
em módulo, ou seja, não há limite finito. Portanto
não é diferenciável em
.
Conclusão da primeira componente: diferenciável em todos os
exceto em
.
Passo 8
Análise da segunda componente
para
, com valor
.
- Para
o denominador é não nulo, então é razão de polinômios com denominador não nulo e, por isso, é diferenciável em todo . - Já vimos no Passo 4 que, para
,
Como
não se anula em
, a função simplificada
é diferenciável em
. Como o valor em
foi definido exatamente pela continuidade (valor igual ao limite), a extensão é diferenciável em
. Concluímos que
é diferenciável em
.
- Em
o denominador é zero. Como (verificação: ), a função tem singularidade (diverge) em e, portanto, não é diferenciável em .
Resumo da segunda componente: diferenciável em todo
exceto em
.
Passo 9
Combinação das componentes para a diferenciabilidade da
.
A será diferenciável exatamente nos pontos onde ambas as componentes são diferenciáveis simultaneamente. Das conclusões anteriores:
A
-
não é diferenciável em , mas é diferenciável em todo o resto. -
não é diferenciável em , mas é diferenciável em todo o resto (incluindo graças à simplificação).
Portantoé diferenciável em todos os reais exceto em e em . Em particular, é diferenciável em .
Resposta
(a)
(b) é diferenciável para todos os
tais que
e
, ou seja, em
.
(b)