Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A função que está elevada à potência é
. - Essa função aparece elevada à potência
. - O integrando é o produto de
por um fator linear . - Precisamos encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa expressão, i.e., uma função
tal que seja o integrando.
Passo 2
Ideia chave (explicação didática do método que vamos usar): quando a integral tem a forma de uma função composta elevada a uma potência vezes (ou multiplicada por) uma expressão que é proporcional à derivada da parte interna, é natural tentar a substituição. A ideia da substituição é:
- definir uma nova variável
igual à “parte interna” da composição, - calcular
em função de , - reescrever toda a integral em termos de
e , - integrar usando regras simples (como a regra do poder).
Aqui vamos aplicar exatamente isso.
Passo 3
Escolhemos a substituição
Agora calculamos
. Derivando
em relação a
obtemos
Multiplicando por
,
Isolando
obtemos
Passo 4
Agora substituímos na integral original todos os pedaços por
e
. A integral
fica
Passo 5
Regra de integração que vamos usar (aula curta): a regra do poder para integrais diz que, para
,
Aqui
é a variável de integração e
é o expoente. Essa fórmula é direta da antiderivada de uma potência: ao diferenciar
volta-se para
. Exemplo rápido:
.
Passo 6
Aplicando a regra do poder em
com
, obtemos
Passo 7
Voltamos à variável original substituindo
. Assim a primitiva encontrada é
Verificação rápida (opcional, mas útil na prova): derivando essa expressão usando a regra da cadeia temos
que é exatamente o integrando, logo a primitiva está correta.