Calcule as seguintes integrais:
\int\left(2 x^{2}+2 x-3\right)^{35}(2 x+1) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int\left(2 x^{2}+2 x-3\right)^{35}(2 x+1)\,dx.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função que está elevada à potência é 2x^{2}+2x-3.
  • Essa função aparece elevada à potência 35.
  • O integrando é o produto de \left(2x^{2}+2x-3\right)^{35} por um fator linear (2x+1).
  • Precisamos encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa expressão, i.e., uma função F(x) tal que F'(x) seja o integrando.

Passo 2

Ideia chave (explicação didática do método que vamos usar): quando a integral tem a forma de uma função composta elevada a uma potência vezes (ou multiplicada por) uma expressão que é proporcional à derivada da parte interna, é natural tentar a substituição. A ideia da substituição é:
  • definir uma nova variável u igual à “parte interna” da composição,
  • calcular du em função de dx,
  • reescrever toda a integral em termos de u e du,
  • integrar usando regras simples (como a regra do poder).
    Aqui vamos aplicar exatamente isso.

Passo 3

Escolhemos a substituição
u = 2x^{2}+2x-3.
Agora calculamos du. Derivando u em relação a x obtemos
\frac{du}{dx} = 4x+2.
Multiplicando por dx,
du = (4x+2)\,dx = 2(2x+1)\,dx.
Isolando (2x+1)\,dx obtemos
(2x+1)\,dx = \frac{du}{2}.

Passo 4

Agora substituímos na integral original todos os pedaços por u e du. A integral
\int\left(2 x^{2}+2 x-3\right)^{35}(2 x+1)\,dx
fica
\int u^{35}\cdot\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int u^{35}\,du.

Passo 5

Regra de integração que vamos usar (aula curta): a regra do poder para integrais diz que, para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui u é a variável de integração e n é o expoente. Essa fórmula é direta da antiderivada de uma potência: ao diferenciar \frac{u^{n+1}}{n+1} volta-se para u^n. Exemplo rápido: \int u^{2}\,du = \frac{u^{3}}{3}+C.

Passo 6

Aplicando a regra do poder em \frac{1}{2}\int u^{35}\,du com n=35, obtemos
\frac{1}{2}\cdot\frac{u^{36}}{36}+C = \frac{u^{36}}{72}+C.

Passo 7

Voltamos à variável original substituindo u = 2x^{2}+2x-3. Assim a primitiva encontrada é
\frac{\left(2x^{2}+2x-3\right)^{36}}{72}+C.
Verificação rápida (opcional, mas útil na prova): derivando essa expressão usando a regra da cadeia temos
\frac{d}{dx}\left(\frac{\left(2x^{2}+2x-3\right)^{36}}{72}\right) = \frac{36}{72}\left(2x^{2}+2x-3\right)^{35}\cdot(4x+2) = \left(2x^{2}+2x-3\right)^{35}(2x+1),
que é exatamente o integrando, logo a primitiva está correta.

Resposta

\dfrac{\left(2x^{2}+2x-3\right)^{36}}{72}+C

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