Uma matriz quadrada A é dita ortogonal se é inversível e se A^{-1}=A^{t}. Nessa condições, prove que se A e B são matrizes ortogonais de mesma ordem, então o produto A B também é uma matriz ortogonal.
Considere a matriz
X=\left(\begin{array}{ll} 1 & \frac{1}{y} \\\ y & 1 \end{array}\right)
onde y é um número real diferente de zero. Se p(x)=x^{2}-2 x, mostre que a matriz X é um zero desse polinômio, ou seja, P(X)=0.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas distintas, em sequência:
Mostrar que, se A e B são matrizes quadradas ortogonais da mesma ordem, então o produto AB também é ortogonal.
Para a matriz
X=\begin{pmatrix}1 & \dfrac{1}{y} \\[6pt] y & 1\end{pmatrix},
com y\in\mathbb{R} e y\neq 0, mostrar que p(X)=0 para o polinômio p(x)=x^{2}-2x, ou seja, mostrar que X^{2}-2X é a matriz nula.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Uma matriz quadrada M é ortogonal se é inversível e satisfaz M^{-1}=M^{t}.
A e B são ortogonais (portanto A^{-1}=A^{t} e B^{-1}=B^{t}).
A matriz X e o polinômio p(x)=x^{2}-2x foram fornecidos explicitamente; y é não nulo.]
Passo 2
Entender o que significa mostrar que AB é ortogonal: precisamos provar que (AB)^{-1}=(AB)^{t}. Vou usar duas propriedades básicas de matrizes que preciso explicar e aplicar:
Propriedade 1 (transposta do produto): para quaisquer matrizes compatíveis M e N tem-se (MN)^{t}=N^{t}M^{t}.
Explicação: a transposta troca linhas por colunas; ao transpor um produto a ordem das multiplicações inverte.
Propriedade 2 (inversa do produto): se M e N são invertíveis, então MN é invertível e (MN)^{-1}=N^{-1}M^{-1}.
Explicação/justificativa curta: verificar que (MN)(N^{-1}M^{-1})=M(NN^{-1})M^{-1}=M I M^{-1}=I e também (N^{-1}M^{-1})(MN)=I, logo N^{-1}M^{-1} é a inversa de MN.
Passo 3
Aplicar as propriedades ao caso A e B.
Como A e B são ortogonais, são invertíveis e valem \,A^{-1}=A^{t} e \,B^{-1}=B^{t}.
Pela Propriedade 2 (inversa do produto) temos
(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.
Pela Propriedade 1 (transposta do produto) temos
(AB)^{t}=B^{t}A^{t}.
Passo 4
Substituir A^{-1}=A^{t} e B^{-1}=B^{t} na expressão de (AB)^{-1}:
(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}=B^{t}A^{t}.
Comparando com a expressão de (AB)^{t} do passo anterior, vemos que
(AB)^{-1}=(AB)^{t}.
Passo 5
Concluir a primeira parte: como (AB)^{-1}=(AB)^{t}, pelo mesmo critério do enunciado AB é ortogonal. (Também é invertível, pois sua inversa foi exibida.)
Passo 6
Agora trato a segunda parte: mostrar que p(X)=X^{2}-2X é a matriz nula. Primeiro lembro como multiplicar matrizes 2\times2: se
M=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}, \quad N=\begin{pmatrix}e & f\\\ g & h\end{pmatrix},