Uma matriz quadrada A é dita ortogonal se é inversível e se A^{-1}=A^{t}. Nessa condições, prove que se A e B são matrizes ortogonais de mesma ordem, então o produto A B também é uma matriz ortogonal.
Considere a matriz
X=\left(\begin{array}{ll} 1 & \frac{1}{y} \\\ y & 1 \end{array}\right)
onde y é um número real diferente de zero. Se p(x)=x^{2}-2 x, mostre que a matriz X é um zero desse polinômio, ou seja, P(X)=0.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas distintas, em sequência:
  1. Mostrar que, se A e B são matrizes quadradas ortogonais da mesma ordem, então o produto AB também é ortogonal.
  2. Para a matriz
X=\begin{pmatrix}1 & \dfrac{1}{y} \\[6pt] y & 1\end{pmatrix},
com y\in\mathbb{R} e y\neq 0, mostrar que p(X)=0 para o polinômio p(x)=x^{2}-2x, ou seja, mostrar que X^{2}-2X é a matriz nula.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Uma matriz quadrada M é ortogonal se é inversível e satisfaz M^{-1}=M^{t}.
  • A e B são ortogonais (portanto A^{-1}=A^{t} e B^{-1}=B^{t}).
  • A matriz X e o polinômio p(x)=x^{2}-2x foram fornecidos explicitamente; y é não nulo.]

Passo 2

Entender o que significa mostrar que AB é ortogonal: precisamos provar que (AB)^{-1}=(AB)^{t}. Vou usar duas propriedades básicas de matrizes que preciso explicar e aplicar:
  • Propriedade 1 (transposta do produto): para quaisquer matrizes compatíveis M e N tem-se (MN)^{t}=N^{t}M^{t}.
    Explicação: a transposta troca linhas por colunas; ao transpor um produto a ordem das multiplicações inverte.
  • Propriedade 2 (inversa do produto): se M e N são invertíveis, então MN é invertível e (MN)^{-1}=N^{-1}M^{-1}.
    Explicação/justificativa curta: verificar que (MN)(N^{-1}M^{-1})=M(NN^{-1})M^{-1}=M I M^{-1}=I e também (N^{-1}M^{-1})(MN)=I, logo N^{-1}M^{-1} é a inversa de MN.

Passo 3

Aplicar as propriedades ao caso A e B.
Como A e B são ortogonais, são invertíveis e valem \,A^{-1}=A^{t} e \,B^{-1}=B^{t}.
Pela Propriedade 2 (inversa do produto) temos
(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.
Pela Propriedade 1 (transposta do produto) temos
(AB)^{t}=B^{t}A^{t}.

Passo 4

Substituir A^{-1}=A^{t} e B^{-1}=B^{t} na expressão de (AB)^{-1}:
(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}=B^{t}A^{t}.
Comparando com a expressão de (AB)^{t} do passo anterior, vemos que
(AB)^{-1}=(AB)^{t}.

Passo 5

Concluir a primeira parte: como (AB)^{-1}=(AB)^{t}, pelo mesmo critério do enunciado AB é ortogonal. (Também é invertível, pois sua inversa foi exibida.)

Passo 6

Agora trato a segunda parte: mostrar que p(X)=X^{2}-2X é a matriz nula. Primeiro lembro como multiplicar matrizes 2\times2: se
M=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}, \quad N=\begin{pmatrix}e & f\\\ g & h\end{pmatrix},
então
MN=\begin{pmatrix}ae+bg & af+bh\\\ ce+dg & cf+dh\end{pmatrix}.
Explicação: cada entrada é o produto escalar da linha correspondente de M com a coluna correspondente de N.

Passo 7

Aplicar a multiplicação ao caso X. Reescrevo X para ficar claro:
X=\begin{pmatrix}1 & \dfrac{1}{y}\\[6pt] y & 1\end{pmatrix}.
Calculo X^{2}=X\cdot X usando a regra do passo anterior:
  • Entrada (1,1): 1\cdot 1 + \dfrac{1}{y}\cdot y = 1 + 1 = 2.
  • Entrada (1,2): 1\cdot \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{y}\cdot 1 = \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{y}.
  • Entrada (2,1): y\cdot 1 + 1\cdot y = y + y = 2y.
  • Entrada (2,2): y\cdot \dfrac{1}{y} + 1\cdot 1 = 1 + 1 = 2.
Portanto
X^{2}=\begin{pmatrix}2 & \dfrac{2}{y}\\[6pt] 2y & 2\end{pmatrix}.]

Passo 8

Observar que a matriz X^{2} obtida pode ser escrita como 2 vezes X. De fato,
2X=2\begin{pmatrix}1 & \dfrac{1}{y}\\[6pt] y & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2 & \dfrac{2}{y}\\[6pt] 2y & 2\end{pmatrix}=X^{2}.
Isso segue diretamente das entradas que calculamos.]

Passo 9

Calcular p(X)=X^{2}-2X. Usando o resultado do passo anterior,
p(X)=X^{2}-2X=2X-2X=0,
onde 0 é a matriz nula 2\times2. Logo X é uma raiz do polinômio p no sentido matricial.

Resposta

O produto AB é ortogonal.
p(X)=X^{2}-2X=0.

Exercícios relacionados