Exercício 6 - Mostre que o campo elétrico devido a uma casca cilíndrica infinitamente longa, uniformemente carregada, de raio R, carregando uma densidade de carga superficial sigma, é dado por
Er=0, r<R
Er=sigma Repsilon0 r=lambda2 pi epsilon0 r, r>R
onde lambda=2 pi R sigma é a carga por unidade de comprimento na casca.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra mostrar o campo elétrico de uma casca cilíndrica infinitamente longa, raio R, com densidade de carga superficial sigma. A matéria envolvida aqui é a Lei de Gauss em eletricidade, e vamos precisar usar simetria cilíndrica e um cilindro gaussiano para calcular o fluxo do campo e, a partir daí, tirar E(r).

Passo 2

A gente começa lembrando a Lei de Gauss, que diz:
PhiE ;=;oint vec Ecdot dvec A ;=;Qrm intvarepsilon0,
ou seja, o fluxo do campo elétrico por uma superfície fechada vale a carga total interna dividida por varepsilon0.
Como o problema tem simetria cilíndrica, o campo vec E só aponta na direção radial e depende só da distância r ao eixo. Então, se escolhermos um cilindro gaussiano de raio r e comprimento L (coaxial com a casca), o fluxo é
PhiE ;=;E(r);times;(2pi r L)

Passo 3

Caso r<R (ou seja, dentro da casca):
– A carga interna ao cilindro gaussiano é zero, porque toda a carga está numa casca na superfície r=R. Então
Qrm int=0
e a Lei de Gauss vira
E(r),(2pi r L)=0 Longrightarrow E(r)=0(,r<R,)

Passo 4

Caso r>R (fora da casca):
– Agora o cilindro gaussiano engloba toda a casca carregada. A carga interna é a densidade sigma vezes a área da casca de altura L, ou seja
Qrm int =sigma;l(2pi R Lr)
Pela Lei de Gauss:
E(r),(2pi r L) =Qrm intvarepsilon0 =sigma,(2pi R L)varepsilon0 Longrightarrow E(r) =sigma,Rvarepsilon0,r
Se a gente definir lambda=2pi Rsigma como carga por comprimento, dá também
E(r)=lambda2pivarepsilon0,r (,r>R,)

Resposta

Er(r)= 0, & r<R,[6pt] sigma,Rvarepsilon0,r ;=;lambda2pi,varepsilon0,r, & r>R
]

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