Exercício 6 - Mostre que o campo elétrico devido a uma casca cilíndrica infinitamente longa, uniformemente carregada, de raio
, carregando uma densidade de carga superficial
, é dado por
onde
é a carga por unidade de comprimento na casca.
onde
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra mostrar o campo elétrico de uma casca cilíndrica infinitamente longa, raio
, com densidade de carga superficial
. A matéria envolvida aqui é a Lei de Gauss em eletricidade, e vamos precisar usar simetria cilíndrica e um cilindro gaussiano para calcular o fluxo do campo e, a partir daí, tirar
.
Passo 2
A gente começa lembrando a Lei de Gauss, que diz:
ou seja, o fluxo do campo elétrico por uma superfície fechada vale a carga total interna dividida por
.
Como o problema tem simetria cilíndrica, o campo só aponta na direção radial e depende só da distância
ao eixo. Então, se escolhermos um cilindro gaussiano de raio
e comprimento
(coaxial com a casca), o fluxo é
Como o problema tem simetria cilíndrica, o campo
Passo 3
Caso
(ou seja, dentro da casca):
– A carga interna ao cilindro gaussiano é zero, porque toda a carga está numa casca na superfície . Então
– A carga interna ao cilindro gaussiano é zero, porque toda a carga está numa casca na superfície
e a Lei de Gauss vira
Passo 4
Caso
(fora da casca):
– Agora o cilindro gaussiano engloba toda a casca carregada. A carga interna é a densidade vezes a área da casca de altura
, ou seja
– Agora o cilindro gaussiano engloba toda a casca carregada. A carga interna é a densidade
Pela Lei de Gauss:
Se a gente definir
como carga por comprimento, dá também
Resposta
]