Exercício 1. Mostre que a equação de onda
é invariante sob as transformações de Lorentz, isto é, via
e
obtenha
. Para isto, use
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação de onda
mantém a mesma forma em coordenadas de Lorentz
ou seja, que em variáveis primadas vale
onde
.
Para isso, vamos usar as regras de cadeia já dadas:
Para isso, vamos usar as regras de cadeia já dadas:
Passo 2
Expressamos
aplicando duas vezes
.
Primeiro,
Primeiro,
Agora aplicamos outra vez
:
Em forma expandida,
Passo 3
De modo análogo, para
usamos
.
Primeiro,
Primeiro,
e então
Passo 4
Construímos
em função de derivadas primadas:
Passo 5
Usamos agora
, logo
Portanto
Resposta
Mostramos que
ou seja, a equação de onda é invariável sob transformações de Lorentz.