Exercício 8.1. Mostre que
é solução do PVI
.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
e pede para mostrar que
é solução desse PVI. As informações relevantes são:
,
,
e
são constantes (o enunciado não especifica
), a função candidata é
e a condição inicial é
. Neste passo eu só listei o que foi dado; a verificação começa no passo seguinte.
Passo 2
O que significa ser solução do PVI? Significa duas coisas:
- A função
deve satisfazer a equação diferencial para todo do domínio considerado. - Deve satisfazer a condição inicial
.
Estratégia prática (a mais direta aqui): calcular
, substituir
e
no lado esquerdo da equação diferencial e verificar se dá
. Para isso preciso lembrar como derivar uma potência com base
: se temos
então
onde
é o logaritmo natural de
e
é uma constante.
Passo 3
Calculemos a derivada
. Partindo de
a derivada do termo constante
é
e, aplicando a fórmula do passo anterior com
, obtemos
Portanto
Simplificando o fator
,
Passo 4
Agora calculemos o termo
e somemos com
.
Primeiro,
Primeiro,
Somando
e
obtemos
Colocando em evidência
,
Passo 5
Queremos que o lado esquerdo valha exatamente
para todo
. Pela expressão do passo anterior isso exige
ou seja
Agora, para
(caso natural quando se trabalha com potências reais
) temos
para todo
, então a única maneira de essa igualdade ser verdadeira para todo
é ter
Isso implica
Observação sobre domínio: se
a expressão
pode não estar bem definida para expoentes reais; por isso é natural exigir
. O caso
também dá problemas em
(teríamos
indefinido). Logo a condição correta é
.
Passo 6
Verificação da condição inicial e confirmação final: com
a função candidata fica
Calculando
,
logo a condição
é satisfeita. E pelo passo 5, com
obtemos exatamente
portanto a função é solução do PVI.
Passo 7
Comentário didático (método padrão): a equação dada é uma ODE linear de primeira ordem. O método clássico usa fator integrante
. Multiplicando a equação por
e integrando obtém-se diretamente
o que confirma que, na forma proposta
, o parâmetro
deve ser
. Esse procedimento é o que você usaria na prova para resolver esse tipo de PVI quando a solução não for dada: encontrar o fator integrante, transformar em derivada exata e integrar.
Resposta
A função é solução se, e somente se,
. Assim