Exercício 8.1. Mostre que I(t)=\frac{E_{0}}{R}\left(1-r^{R t / L}\right) é solução do PVI \frac{d I}{d t}+\frac{R I}{L}=\frac{E_{0}}{L}, I(0)=0.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
\frac{dI}{dt}+\frac{R}{L}\,I=\frac{E_{0}}{L},\qquad I(0)=0,
e pede para mostrar que
I(t)=\frac{E_{0}}{R}\bigl(1-r^{R t / L}\bigr)
é solução desse PVI. As informações relevantes são: E_{0}, R, L e r são constantes (o enunciado não especifica r), a função candidata é I(t)=\dfrac{E_{0}}{R}\bigl(1-r^{R t / L}\bigr) e a condição inicial é I(0)=0. Neste passo eu só listei o que foi dado; a verificação começa no passo seguinte.

Passo 2

O que significa ser solução do PVI? Significa duas coisas:
  1. A função I(t) deve satisfazer a equação diferencial para todo t do domínio considerado.
  2. Deve satisfazer a condição inicial I(0)=0.
Estratégia prática (a mais direta aqui): calcular \dfrac{dI}{dt}, substituir \dfrac{dI}{dt} e I(t) no lado esquerdo da equação diferencial e verificar se dá \dfrac{E_{0}}{L}. Para isso preciso lembrar como derivar uma potência com base r: se temos \,r^{\alpha t}\, então
\frac{d}{dt}\bigl(r^{\alpha t}\bigr)=r^{\alpha t}\cdot\ln(r)\cdot\alpha,
onde \ln(r) é o logaritmo natural de r e \alpha é uma constante.

Passo 3

Calculemos a derivada \dfrac{dI}{dt}. Partindo de
I(t)=\frac{E_{0}}{R}\bigl(1-r^{R t / L}\bigr),
a derivada do termo constante 1 é 0 e, aplicando a fórmula do passo anterior com \alpha=\dfrac{R}{L}, obtemos
\frac{d}{dt}\bigl(r^{R t / L}\bigr)=r^{R t / L}\cdot\ln(r)\cdot\frac{R}{L}.
Portanto
\frac{dI}{dt}=-\frac{E_{0}}{R}\cdot r^{R t / L}\cdot\ln(r)\cdot\frac{R}{L}.
Simplificando o fator \dfrac{R}{R},
\frac{dI}{dt}=-\frac{E_{0}}{L}\,r^{R t / L}\ln(r).

Passo 4

Agora calculemos o termo \dfrac{R}{L}I(t) e somemos com \dfrac{dI}{dt}.
Primeiro,
\frac{R}{L}I(t)=\frac{R}{L}\cdot\frac{E_{0}}{R}\bigl(1-r^{R t / L}\bigr)=\frac{E_{0}}{L}\bigl(1-r^{R t / L}\bigr).
Somando \dfrac{dI}{dt} e \dfrac{R}{L}I(t) obtemos
\frac{dI}{dt}+\frac{R}{L}I(t)=-\frac{E_{0}}{L}\,r^{R t / L}\ln(r)+\frac{E_{0}}{L}\bigl(1-r^{R t / L}\bigr).
Colocando em evidência \dfrac{E_{0}}{L},
\frac{dI}{dt}+\frac{R}{L}I(t)=\frac{E_{0}}{L}\Bigl(1-r^{R t / L}\bigl(1+\ln(r)\bigr)\Bigr).

Passo 5

Queremos que o lado esquerdo valha exatamente \dfrac{E_{0}}{L} para todo t. Pela expressão do passo anterior isso exige
1-r^{R t / L}\bigl(1+\ln(r)\bigr)=1,
ou seja
r^{R t / L}\bigl(1+\ln(r)\bigr)=0 \qquad\text{para todo }t.
Agora, para r>0 (caso natural quando se trabalha com potências reais r^{\text{expoente}}) temos r^{R t / L}>0 para todo t, então a única maneira de essa igualdade ser verdadeira para todo t é ter
1+\ln(r)=0.
Isso implica
\ln(r)=-1\quad\Rightarrow\quad r=e^{-1}.
Observação sobre domínio: se r\le 0 a expressão r^{R t / L} pode não estar bem definida para expoentes reais; por isso é natural exigir r>0. O caso r=0 também dá problemas em t=0 (teríamos 0^{0} indefinido). Logo a condição correta é r=e^{-1}.

Passo 6

Verificação da condição inicial e confirmação final: com r=e^{-1} a função candidata fica
I(t)=\frac{E_{0}}{R}\bigl(1-e^{-R t / L}\bigr).
Calculando I(0),
I(0)=\frac{E_{0}}{R}\bigl(1-e^{0}\bigr)=\frac{E_{0}}{R}(1-1)=0,
logo a condição I(0)=0 é satisfeita. E pelo passo 5, com r=e^{-1} obtemos exatamente
\frac{dI}{dt}+\frac{R}{L}I(t)=\frac{E_{0}}{L},
portanto a função é solução do PVI.

Passo 7

Comentário didático (método padrão): a equação dada é uma ODE linear de primeira ordem. O método clássico usa fator integrante \mu(t)=e^{\int (R/L)\,dt}=e^{R t / L}. Multiplicando a equação por \mu(t) e integrando obtém-se diretamente
I(t)=\frac{E_{0}}{R}\bigl(1-e^{-R t / L}\bigr),
o que confirma que, na forma proposta I(t)=\dfrac{E_{0}}{R}\bigl(1-r^{R t / L}\bigr), o parâmetro r deve ser r=e^{-1}. Esse procedimento é o que você usaria na prova para resolver esse tipo de PVI quando a solução não for dada: encontrar o fator integrante, transformar em derivada exata e integrar.

Resposta

A função é solução se, e somente se, r=e^{-1}. Assim
I(t)=\frac{E_{0}}{R}\bigl(1-e^{-R t / L}\bigr).

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