Exercício 3.8.1. Mostre que:
integral0^+infty 4 e^8 x d x=+infty

Passo 1

O enunciado quer mostrar que a integral imprópria
integral0^+infty4e^8x,dx
diverge para +infty. O conteúdo aqui é reconhecer que uma função exponencial crescente faz com que a área sob a curva seja infinita, e para isso usamos a definição de integral imprópria como limite de integrais próprias.

Passo 2

Reescrevemos a integral imprópria como limite de uma integral própria com cota superior b:
integral0^+infty4e^8x,dx = limbto+inftyintegral0^b4e^8x,dx

Passo 3

Calculamos a antiderivada de 4e^8x. Como a derivada de e^8x é 8e^8x, temos
integral 4e^8x,dx = 4cdot18e^8x = 12,e^8x

Passo 4

Avaliamo-la de 0 a b:
integral0^b4e^8x,dx = [12,e^8x]0^b = 12l(e^8b-e^0r) = 12l(e^8b-1r)
Agora fazemos bto+infty. Como e^8bto+infty, segue que
limbto+infty12l(e^8b-1r)=+infty

Resposta

+infty

Exercícios relacionados