Exercício 5. Sejam os sistemas abaixo
\begin{gathered} S=\left\{\begin{array}{r} x+2 y+z=0 \\\\ 2 x+y+3 z=0 \\\\ 3 x-2 y+z=0 \end{array}, \quad S_{1}=\left\{\begin{array}{r} x+y+z=4 \\\ x+5 y-2 z=1 \end{array} S_{2}=\left\{\begin{array}{r} x+y-z=0 \\\\ -x+y-z=1 \\\\ -x-y+z=2 \end{array}\right.\right.\right. \\\ S_{3}=\left\{\begin{array}{l} x+y+z=1 \\\\ 2 x+2 y+2 z=2 \\\\ 3 x+3 y+3 z=3 \end{array}\right. \end{gathered}
a) Obtenha as matrizes ampliadas associadas do sistemas acima e reduza à forma escada.
b) Calcule o posto das matrizes ampliadas associadas ao sistemas acima e das matrizes do coeficientes dos sistemas acima.
c) Diga quais do sistemas acima tem solução? Qual tem solução única? Qual não tem solução?

Passo 1

O enunciado nos dá quatro sistemas lineares e pede três coisas:
  • (a) obter as matrizes ampliadas associadas a cada sistema e reduzi-las à forma escada (ou seja, aplicar eliminação de Gauss até ter linha de zeros abaixo dos pivôs);
  • (b) calcular o posto (rank) de cada matriz de coeficientes e de cada matriz ampliada;
  • (c) dizer quais sistemas têm solução, quais têm solução única e quais não têm solução.
Os sistemas fornecidos são (copiados do enunciado):
S:\begin{cases} x+2y+z=0\\[4pt] 2x+y+3z=0\\[4pt] 3x-2y+z=0 \end{cases} \qquad S_{1}:\begin{cases} x+y+z=4\\[4pt] x+5y-2z=1 \end{cases}
S_{2}:\begin{cases} x+y-z=0\\[4pt] -x+y-z=1\\[4pt] -x-y+z=2 \end{cases} \qquad S_{3}:\begin{cases} x+y+z=1\\[4pt] 2x+2y+2z=2\\[4pt] 3x+3y+3z=3 \end{cases}
Informações relevantes a usar:
  • Para cada sistema vou escrever a matriz dos coeficientes A e a matriz ampliada [A\mid b].
  • O posto (rank) de uma matriz é o número de linhas (ou colunas) linearmente independentes; na prática, ao reduzir à forma escada, é o número de linhas não-nulas.
  • Critério de existência de solução (Teorema de Rouché–Capelli): o sistema é consistente (tem solução) se, e somente se, \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid b]). Se consistente e \operatorname{rank}(A)=n (n = número de incógnitas), a solução é única; se consistente e \operatorname{rank}(A)<n, há infinitas soluções (parâmetros livres).]

Passo 2

Breve explicação das ferramentas que vou usar (rápida aula):
  • Matriz ampliada: para o sistema linear em incógnitas x,y,z, a matriz ampliada é [A\mid b] onde A contém os coeficientes das incógnitas e b o lado direito.
  • Operações elementares nas linhas (que preservam o conjunto de soluções): trocar duas linhas, multiplicar uma linha por escalar não-nulo, somar a uma linha um múltiplo de outra. Usando essas operações chego à forma escada (cada pivô não-nulo é à direita do pivô da linha acima).
  • Ao final da redução conto o número de linhas não-nulas em A e em [A\mid b] para obter os postos.
  • Se aparecer uma linha do tipo [0\\\ 0\\\ 0 \mid c] com c\neq0 então o sistema é inconsistente (contradição 0=c).
Agora vamos aplicar tudo isso sistema por sistema, mostrando as matrizes ampliadas e as operações passo a passo.

Passo 3

Matriz ampliada inicial [A\mid b] do sistema S:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 3 & 0\\[4pt] 3 & -2 & 1 & 0 \end{array}\right]
Aplicando eliminação de Gauss (explicando cada operação):
  1. Usar a primeira linha como pivô para zerar abaixo:
  • R_2\leftarrow R_2-2R_1 R_2:\\ (2-2\cdot1,\\\ 1-2\cdot2,\\\ 3-2\cdot1\mid 0-2\cdot0)=(0,\,-3,\\\ 1\mid 0).
  • R_3\leftarrow R_3-3R_1 R_3:\\ (3-3\cdot1,\\\ -2-3\cdot2,\\\ 1-3\cdot1\mid 0-3\cdot0)=(0,\,-8,\,-2\mid 0).
Matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -3 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -8 & -2 & 0 \end{array}\right]
  1. Usar a segunda linha como pivô ( -3 no lugar (2,2)) para zerar abaixo:
  • Fator para zerar R_3 é \dfrac{-8}{-3}=\dfrac{8}{3}.
  • R_3\leftarrow R_3-\dfrac{8}{3}R_2. Calculando a terceira coluna: -2-\dfrac{8}{3}\cdot 1 = -2-\dfrac{8}{3} = -\dfrac{6}{3}-\dfrac{8}{3}=-\dfrac{14}{3}.
  • A segunda entrada fica -8-\dfrac{8}{3}\cdot(-3)= -8 +8=0. RHS continua 0.
    Matriz em forma escada (pivôs em colunas 1,2,3):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -3 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -\dfrac{14}{3} & 0 \end{array}\right]
Esta é uma forma escada com três linhas não-nulas (todos os pivôs não nulos).
Interpretação e solução:
  • \operatorname{rank}(A)=3 (três pivôs nas três colunas de coeficientes).
  • \operatorname{rank}([A\mid b])=3.
  • Número de incógnitas n=3. Como \operatorname{rank}(A)=n e \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid b]), há solução única.
  • Encontrando a solução por substituição regressiva: terceira linha dá -\dfrac{14}{3}z=0\Rightarrow z=0. Segunda linha dá -3y+1\cdot z=0\Rightarrow y=0. Primeira linha dá x+2y+z=0\Rightarrow x=0.
  • Solução única: (x,y,z)=(0,0,0).]

Passo 4

Matriz ampliada inicial:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 4\\[4pt] 1 & 5 & -2 & 1 \end{array}\right]
Eliminação:
  1. Zeramos o elemento (2,1) usando R_1:
  • R_2\leftarrow R_2-R_1 R_2:(1-1,\\\ 5-1,\\\ -2-1\mid 1-4)=(0,\\\ 4,\\\ -3\mid -3).
Matriz em forma escada:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 4\\[4pt] 0 & 4 & -3 & -3 \end{array}\right]
Agora temos duas linhas não-nulas; como são apenas duas equações, já é forma escada.
Postos e solução:
  • \operatorname{rank}(A)=2 (duas linhas não-nulas na parte dos coeficientes).
  • \operatorname{rank}([A\mid b])=2.
  • Número de incógnitas n=3. Como \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid b])<n, o sistema é consistente com infinitas soluções (um parâmetro livre).
  • Resolver parametricamente: da segunda linha 4y-3z=-3 \quad\Rightarrow\quad y=\dfrac{-3+3z}{4}=\dfrac{3(z-1)}{4}.Pondo z=t parâmetro livre, da primeira linha x=4-y-z=4-\dfrac{3(t-1)}{4}-t=\dfrac{19-7t}{4}.
  • Conjunto solução (parametrizado por t\in\mathbb{R}): (x,y,z)=\left(\dfrac{19-7t}{4},\\ \dfrac{3(t-1)}{4},\\ t\right),\qquad t\in\mathbb{R}.]

Passo 5

Matriz ampliada inicial:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 0\\[4pt] -1 & 1 & -1 & 1\\[4pt] -1 & -1 & 1 & 2 \end{array}\right]
Eliminação:
  1. Usar R_1 para zerar abaixo:
  • R_2\leftarrow R_2+R_1: R_2:(-1+1,\\\ 1+1,\\\ -1+(-1)\mid 1+0)=(0,\\\ 2,\\\ -2\mid 1).
  • R_3\leftarrow R_3+R_1: R_3:(-1+1,\\\ -1+1,\\\ 1+(-1)\mid 2+0)=(0,\\\ 0,\\\ 0\mid 2).
Matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 2 & -2 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}\right]
Observação crucial:
  • A terceira linha corresponde a 0x+0y+0z=2, ou seja 0=2, uma contradição. Isso mostra que o sistema é inconsistente.
Postos:
  • A parte dos coeficientes tem duas linhas independentes (as duas primeiras linhas da redução são não-nulas), então \operatorname{rank}(A)=2.
  • A matriz ampliada tem a terceira linha não-nula (porque a coluna aumentada tem 2 aí), então \operatorname{rank}([A\mid b])=3.
  • Como \operatorname{rank}(A)\neq\operatorname{rank}([A\mid b]), o sistema não tem solução.]

Passo 6

Matriz ampliada inicial:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 2 & 2 & 2 & 2\\[4pt] 3 & 3 & 3 & 3 \end{array}\right]
Eliminação (observação antes de operar):
  • As equações são múltiplos umas das outras: segunda é 2 vezes a primeira, terceira é 3 vezes a primeira. Então espera-se posto 1.
Procedimento:
  • R_2\leftarrow R_2-2R_1\Rightarrow R_2=(0,0,0\mid 0).
  • R_3\leftarrow R_3-3R_1\Rightarrow R_3=(0,0,0\mid 0).
Matriz em forma escada:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]
Postos e solução:
  • \operatorname{rank}(A)=1 (apenas a primeira linha não-nula na parte dos coeficientes).
  • \operatorname{rank}([A\mid b])=1.
  • Número de incógnitas n=3. Como \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid b])<n, o sistema é consistente com infinitas soluções (dois parâmetros livres).
  • Resolver parametricamente: da primeira equação x+y+z=1. Tomando y=s,\\ z=t livres, obtemos x=1-s-t.
  • Conjunto solução: (x,y,z)=(1-s-t,\\ s,\\ t),\qquad s,t\in\mathbb{R}.]

Passo 7

  • S: \operatorname{rank}(A)=3,\\ \operatorname{rank}([A\mid b])=3. Sistema consistente com solução única (0,0,0).
  • S_1: \operatorname{rank}(A)=2,\\ \operatorname{rank}([A\mid b])=2. Sistema consistente com infinitas soluções (um parâmetro). Forma paramétrica dada no Passo 4.
  • S_2: \operatorname{rank}(A)=2,\\ \operatorname{rank}([A\mid b])=3. Sistema inconsistente (sem solução).
  • S_3: \operatorname{rank}(A)=1,\\ \operatorname{rank}([A\mid b])=1. Sistema consistente com infinitas soluções (dois parâmetros). Forma paramétrica dada no Passo 6.

Resposta

S: \operatorname{rank}(A)=3,\\ \operatorname{rank}([A\mid b])=3. Tem solução única: (x,y,z)=(0,0,0).
S_{1}: \operatorname{rank}(A)=2,\\ \operatorname{rank}([A\mid b])=2. Tem infinitas soluções; forma paramétrica (x,y,z)=\left(\dfrac{19-7t}{4},\\ \dfrac{3(t-1)}{4},\\ t\right),\\ t\in\mathbb{R}.
S_{2}: \operatorname{rank}(A)=2,\\ \operatorname{rank}([A\mid b])=3. Inconsistente — não tem solução.
S_{3}: \operatorname{rank}(A)=1,\\ \operatorname{rank}([A\mid b])=1. Tem infinitas soluções; forma paramétrica (x,y,z)=(1-s-t,\\ s,\\ t),\\ s,t\in\mathbb{R}.

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