Exercício 8. Mostre que a reta r1, que passa pelos pontos A1(-3,4,2) e B1(5,-2,4), e a reta r2, que passa pelos pontos A2(-1,2,-3) e B2(-5,5,-4), são paralelas.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as retas
r1 passa por A1(-3,4,2) e B1(5,-2,4)
e r2 passa por A2(-1,2,-3) e B2(-5,5,-4)
são paralelas.
Conteúdo: vetores de direção em R^3 e paralelismo de retas.
Para isso, vamos obter um vetor diretor de cada reta e verificar se são proporcionais.

Passo 2

Calcular o vetor diretor de r1 subtraindo A1 de B1:
v1 = B1 - A1 = (5 - (-3),,-2 - 4,,4 - 2) = (8,,-6,,2)

Passo 3

Calcular o vetor diretor de r2 subtraindo A2 de B2:
v2 = B2 - A2 = (-5 - (-1),,5 - 2,,-4 - (-3)) = (-4,,3,,-1)

Passo 4

Verificar se v1 e v2 são proporcionais.
Observamos que
-2 ,v2 = -2,(-4,,3,,-1) = (8,,-6,,2) = v1
Como existe escalar k=-2 tal que v1=k,v2, os vetores são colineares.

Resposta

As retas r1 e r2 são paralelas, pois seus vetores diretores são proporcionais.

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