Para cada matriz A abaixo, sendo p o seu posto, faça operações elementares nas suas linhas para escrevê-la como um produto A=X C, onde X tem p colunas e C tem p linhas.
A=[ccc1 & 2 & 3 2 & 1 & 7 1 & -4 & 7 2 & -2 & 8]

Passo 1

O enunciado quer fatorar AinR^4times3 como
A ;=; X,C
onde p=rank(A), X tem p colunas e C tem p linhas. Aqui A é
A= 1 & 2 & 3 2 & 1 & 7 1 & -4 & 7 2 & -2 & 8 ,
logo m=4, n=3 e p<=min4,3=3. Vamos achar p por eliminação de Gauss e extrair daí C, depois expressar cada linha original de A em função das linhas de C para obter X.

Passo 2

Aplicamos operações elementares nas linhas para levar A à forma escalonada:
1) L2mapsto L2-2L1,;L3mapsto L3-L1,;L4mapsto L4-2L1,
2) então L3mapsto L3-2L2,;L4mapsto L4-2L2.
O resultado é
1 & 2 & 3 0 & -3 & 1 0 & 0 & 2 0 & 0 & 0
Como há três linhas não nulas, p=3. Tomamos como
C= 1 & 2 & 3 0 & -3 & 1 0 & 0 & 2 inR^3times3

Passo 3

Cada linha de A é combinação linear das três linhas de C. De fato, verificamos:
  • L1(A)=1cdot L1(C),
  • L2(A)=2cdot L1(C)+1cdot L2(C),
  • L3(A)=1cdot L1(C)+2cdot L2(C)+1cdot L3(C),
  • L4(A)=2cdot L1(C)+2cdot L2(C).
    Assim, definimos
X= 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 1 & 2 & 1 2 & 2 & 0 inR^4times3,
de modo que A = X,C.

Resposta

p =3
X = 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 1 & 2 & 1 2 & 2 & 0 , C = 1 & 2 & 3 0 & -3 & 1 0 & 0 & 2

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