Para cada matriz A abaixo, sendo p o seu posto, faça operações elementares nas suas linhas para escrevê-la como um produto A=X C, onde X tem p colunas e C tem p linhas.
A=[cccc-4 & -2 & -1 & -5 1 & 1 & 0 & 2 2 & 4 & -1 & 7 3 & 3 & 0 & 6]

Passo 1

O enunciado pede uma fatoração de posto (rank) da matriz
isto é, escrever com de dimensão e de dimensão , onde . Vamos usar eliminação de Gauss para encontrar e as colunas independentes, depois expressar cada coluna de como combinação linear dessas colunas-pivô.

Passo 2

Para determinar o posto aplicamos eliminação de Gauss (trocando , zerando abaixo do pivô de e depois do pivô de ). Chegamos à forma escalonada
Dessa forma , logo .

Passo 3

Os pivôs aparecem nas colunas 1 e 2 da forma escalonada, ou seja, as colunas 1 e 2 de A são linearmente independentes. São elas
a1=-4123, a2=-2143

Passo 4

Definimos
X=l[a1;a2r] = -4 & -2 1 & 1 2 & 4 3 & 3 ,
que é de dimensão 4times2.

Passo 5

Para obter C de dimensão 2times4, escrevemos cada coluna aj de A como combinação de a1 e a2. Já sabemos que
a1 = 1cdota1 + 0cdota2, a2 = 0cdota1 + 1cdota2
Para a3=(-1,0,-1,0)^T e a4=(-5,2,7,6)^T resolvemos
alpha,a1 + beta,a2 = a3 Longrightarrow (alpha,beta)=(tfrac12,-tfrac12),
alpha',a1 + beta',a2 = a4 Longrightarrow (alpha',beta')=(tfrac12,tfrac32)
Assim
C= 1 & 0 & tfrac12 & tfrac12 0 & 1 & -tfrac12& tfrac32 ,
pois a coluna j de C são os coeficientes que geram aj.

Resposta

X= -4 & -2 1 & 1 2 & 4 3 & 3 , C= 1 & 0 & tfrac12 & tfrac12 0 & 1 & -tfrac12& tfrac32 ,
de modo que A = X,C.

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