Exercício 1. Mostre que as seguintes igualdades valem:
\int \operatorname{sec} (x) \operatorname{tg}(x) d x=\operatorname{sec} (x)+k;

Passo 1

O enunciado dá a integral indefinida
\int \operatorname{sec}(x)\,\operatorname{tg}(x)\,dx
e pede para mostrar que ela é igual a \operatorname{sec}(x)+k, onde k é constante. Informações relevantes do enunciado:
  • A variável de integração é x.
  • A função integranda é \operatorname{sec}(x)\,\operatorname{tg}(x).
  • Trata-se de uma primitiva (antiderivada) indefinida, logo devemos apresentar uma função cuja derivada seja a integranda, mais uma constante arbitrária.

Passo 2

Observação útil (padrão que aparece muito em provas): muitas integrais são resolvidas reconhecendo que a integranda é a derivada de alguma função simples. Vamos calcular a derivada de \operatorname{sec}(x) para ver se aparece \operatorname{sec}(x)\,\operatorname{tg}(x).
Começamos por lembrar que \operatorname{sec}(x)=\dfrac{1}{\cos(x)}. Usando a regra da cadeia para derivar (\cos x)^{-1}, temos:
\frac{d}{dx}\operatorname{sec}(x)=\frac{d}{dx}\big(\cos(x)^{-1}\big) = -1\cdot\cos(x)^{-2}\cdot\big(-\sin(x)\big).
Expliquei cada parte: a derivada de u^{-1} em relação a u é -u^{-2}, e depois multiplica-se pela derivada de u=\cos(x), que é -\sin(x). Simplificando:
\frac{d}{dx}\operatorname{sec}(x)=\frac{\sin(x)}{\cos^2(x)}.
Agora escrevemos \dfrac{\sin(x)}{\cos^2(x)} de forma a enxergar \operatorname{sec} e \operatorname{tg}:
\frac{\sin(x)}{\cos^2(x)}=\frac{1}{\cos(x)}\cdot\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=\operatorname{sec}(x)\,\tan(x).
Portanto concluímos, de forma justificada,
\frac{d}{dx}\operatorname{sec}(x)=\operatorname{sec}(x)\,\tan(x).

Passo 3

Tendo mostrado que \dfrac{d}{dx}\operatorname{sec}(x)=\operatorname{sec}(x)\,\tan(x), já é possível ver a primitiva. Para formalizar com um método padrão que funciona sempre em provas, faça a substituição:
u=\operatorname{sec}(x).
Calcule du:
du=\frac{d}{dx}\operatorname{sec}(x)\,dx=\operatorname{sec}(x)\,\tan(x)\,dx.
Repare que du coincide exatamente com a parte da integral que aparece multiplicando dx.

Passo 4

Com a substituição u=\operatorname{sec}(x) e du=\operatorname{sec}(x)\tan(x)\,dx, a integral fica simples:
\int \operatorname{sec}(x)\,\tan(x)\,dx=\int du = u + k,
onde k é a constante de integração. Agora basta voltar à variável original: u=\operatorname{sec}(x).

Passo 5

Resumo pedagógico e dica de prova: o padrão “função cuja derivada aparece multiplicando dx” é a forma mais rápida de resolver muitas integrais. Aqui reconhecer que a derivada de \operatorname{sec}(x) é \operatorname{sec}(x)\tan(x) dá a resposta imediatamente. Exemplo parecido para treinar: para \int \sin(x)\cos(x)\,dx escolha u=\sin(x), pois du=\cos(x)\,dx, e obtenha \tfrac{1}{2}\sin^2(x)+C. Respira fundo — esse tipo de reconhecimento fica mais fácil com prática.

Resposta

\operatorname{sec}(x)+k

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