Exercício 1. Mostre que as seguintes igualdades valem:
;
Passo 1
O enunciado dá a integral indefinida
e pede para mostrar que ela é igual a
, onde
é constante. Informações relevantes do enunciado:
- A variável de integração é
. - A função integranda é
. - Trata-se de uma primitiva (antiderivada) indefinida, logo devemos apresentar uma função cuja derivada seja a integranda, mais uma constante arbitrária.
Passo 2
Observação útil (padrão que aparece muito em provas): muitas integrais são resolvidas reconhecendo que a integranda é a derivada de alguma função simples. Vamos calcular a derivada de
para ver se aparece
.
Começamos por lembrar que
. Usando a regra da cadeia para derivar
, temos:
Expliquei cada parte: a derivada de
em relação a
é
, e depois multiplica-se pela derivada de
, que é
. Simplificando:
Agora escrevemos
de forma a enxergar
e
:
Portanto concluímos, de forma justificada,
Passo 3
Tendo mostrado que
, já é possível ver a primitiva. Para formalizar com um método padrão que funciona sempre em provas, faça a substituição:
Calcule
:
Repare que
coincide exatamente com a parte da integral que aparece multiplicando
.
Passo 4
Com a substituição
e
, a integral fica simples:
onde
é a constante de integração. Agora basta voltar à variável original:
.
Passo 5
Resumo pedagógico e dica de prova: o padrão “função cuja derivada aparece multiplicando dx” é a forma mais rápida de resolver muitas integrais. Aqui reconhecer que a derivada de
é
dá a resposta imediatamente. Exemplo parecido para treinar: para
escolha
, pois
, e obtenha
. Respira fundo — esse tipo de reconhecimento fica mais fácil com prática.