Exercício 4. Calcule as seguintes integrais definidas:
\int_{0}^{1}\left(x^{7}+3 x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1}\left(x^{7}+3x\right)\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é \;x^{7}+3x\;.
  • Os limites de integração são 0 (inferior) e 1 (superior).
  • A operação pedida é uma integral definida (resultado numérico).

Passo 2

Entendendo o que fazer (em palavras simples).
Uma integral definida \int_{a}^{b} f(x)\,dx corresponde ao valor da antiderivada de f avaliada entre a e b: se F é uma primitiva de f (ou seja, F'(x)=f(x)), então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Aqui vou encontrar uma primitiva de f(x)=x^{7}+3x e depois avaliar entre 0 e 1.

Passo 3

Propriedades úteis (que vou usar):
  • Linearidade: \displaystyle \int (g(x)+h(x))\,dx = \int g(x)\,dx + \int h(x)\,dx.
  • Constante em fator: \displaystyle \int c\cdot g(x)\,dx = c\int g(x)\,dx.
  • Regra do poder (antiderivada): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Explicação rápida da regra do poder: diferenciar \dfrac{x^{n+1}}{n+1} usando a regra da potência dá \dfrac{n+1}{n+1}x^{n}=x^{n}, portanto é uma primitiva de x^n.

Passo 4

Aplicando linearidade e a regra do poder ao integrando \;x^{7}+3x\;:
Separando a integral:
\int_{0}^{1}\left(x^{7}+3x\right)\,dx = \int_{0}^{1} x^{7}\,dx + \int_{0}^{1} 3x\,dx.
Calcular cada primitiva:
  • Para x^{7}, usando a regra do poder com n=7:
\int x^{7}\,dx = \frac{x^{8}}{8} + C.
  • Para 3x, fator constante 3 fora da integral e aplicar a regra com n=1:
\int 3x\,dx = 3\int x\,dx = 3\cdot\frac{x^{2}}{2} + C = \frac{3x^{2}}{2} + C.
Portanto uma primitiva do integrando é
F(x) = \frac{x^{8}}{8} + \frac{3x^{2}}{2}.

Passo 5

Avaliar a integral definida usando F(1)-F(0).
Calcule F(1):
F(1)=\frac{1^{8}}{8}+\frac{3\cdot 1^{2}}{2}=\frac{1}{8}+\frac{3}{2}.
Colocando em denominação comum 8:
\frac{1}{8}+\frac{3}{2}=\frac{1}{8}+\frac{12}{8}=\frac{13}{8}.
Calcule F(0):
F(0)=\frac{0^{8}}{8}+\frac{3\cdot 0^{2}}{2}=0.
Logo
\int_{0}^{1}\left(x^{7}+3x\right)\,dx = F(1)-F(0)=\frac{13}{8}.

Passo 6

Dica rápida para a prova: separar termos, aplicar linearidade e a regra do poder; sempre cheque os expoentes ao somar 1 e simplifique frações com denominador comum para evitar erro na soma final. Você está indo bem — respira fundo e segue passo a passo!

Resposta

\dfrac{13}{8}

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